力学系・エルゴード理論の問題

写像 $f:[0,1]\to [0,1]$, $f(x)=4x(1-x)$ を考える。点 $p=\frac{5+\sqrt{5}}{8}$ は $f$ の最小周期 $2$ の周期点である。$p$ におけるリャプノフ指数
$$\lambda (p)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(p)\right|$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

$a<b$, $c<d$ を実数とし、$I=[a,b]$, $J=[c,d]$ とおく（どちらも長さが正の有界閉区間）。$f:I\to I$, $g:J\to J$ を $C^1$ 級写像とする（区間の端点では片側微分を考える）。$h:I\to J$ は $C^1$ 級写像で、すべての $x\in I$ に対して $h^{\prime }(x)\ne 0$ であり、
$$h\circ f=g\circ h$$
を満たすとする。長さが正の有界閉区間 $K$ 上の $C^1$ 級写像 $\phi :K\to K$ と $x\in K$ に対し、$x$ における $\phi$ のリャプノフ指数を
$${\lambda }_{\phi }(x)=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{n}\log \left|({\phi }^n{)}^{\prime }(x)\right|\in [-\infty ,\infty ]$$
で定める。ただし $n$ は正の整数、${\phi }^n$ は $\phi$ の $n$ 回合成で、$\log 0=-\infty$ と約束する。

すべての $x\in I$ に対して ${\lambda }_g(h(x))={\lambda }_f(x)$ が成り立つことを証明せよ。

写像 $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\frac{x^2-1}{2x}$$
で定める。$\mathbb{R}$ 上の確率測度 $\mu$ を
$$\mu (dx)=\frac{dx}{\pi (1+x^2)}$$
で定めると、$\mu$ は $f$ 不変かつエルゴード的であることが知られている（このことは証明なしに用いてよい）。ルベーグ測度に関してほとんどすべての実数 $x$ について、すべての $n\ge 0$ で $f^n(x)\ne 0$ であり、極限
$$\lambda =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x)\right|$$
が存在して $x$ によらない一定値をとる。この値 $\lambda$ を求めよ。

区間 $X=[0,1)$ 上の写像 $f:X\to X$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+\frac{1}{3}& \left(0\le x<\frac{1}{3}\right)\\ \frac{3x-1}{2}& \left(\frac{1}{3}\le x<1\right)\end{array}$$
で定める。$X$ のルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in X$ に対して、リャプノフ指数
$$\lambda (x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x)\right|$$
が存在して $x$ によらない一定の値 $\lambda$ をとることが知られている。この値 $\lambda$ を求めよ。ただし $f^n$ は $f$ の $n$ 回合成であり、$(f^n{)}^{\prime }(x)$ は軌道 $x,f(x),\dots ,f^{n-1}(x)$ がすべて $x=\frac{1}{3}$ と異なるときに定義される（そうでない $x$ は可算個で、測度 $0$ である）。

区間 $X=[0,1)$ 上の写像 $f:X\to X$ を $$f(x)=\{\begin{array}{ll}4x& \left(0\le x<\frac{1}{4}\right)\\ 2x& \left(\frac{1}{4}\le x<\frac{1}{2}\right)\\ x-\frac{1}{2}& \left(\frac{1}{2}\le x<1\right)\end{array}$$ で定める。$f$ はルベーグ測度に関して絶対連続な $f$ 不変確率測度をただ 1 つもち、$f$ はその測度に関してエルゴード的であることが知られている。ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in X$ について、軌道 $f^k(x)$ $(k=0,1,2,\dots )$ は $\frac{1}{4},\frac{1}{2}$ を通らず、リャプノフ指数 $$\lambda (x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x)\right|$$ が存在して $x$ によらない一定の値をとる。この値を求めよ。