リャプノフ指数

$λ (x) = lim \frac{1}{n} lo g ∣ (f^{n})^{'} (x) ∣$ を、周期 $n$ の点では $\frac{1}{n} \sum_{i} lo g ∣ f^{'} (p_{i}) ∣$ として、エルゴード的な不変測度 $μ$ についてはほとんどすべての点で $\int lo g ∣ f^{'} ∣ d μ$ として求められる。区分線形な平面写像では各方向の伸縮率から求められる（例: $f (x) = 3 x (0 \leq x < \frac{1}{3})$ , $\frac{3 x - 1}{2} (\frac{1}{3} \leq x < 1)$ はルベーグ測度を保ち、 $λ = \frac{1}{3} lo g 3 + \frac{2}{3} lo g \frac{3}{2}$ ）

前提

1 次元写像の周期軌道の乗数と安定性（大学院数学力学系・エルゴード理論）
バーコフのエルゴード定理と時間平均（大学院数学力学系・エルゴード理論）

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算数中学高校大学大学院

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不変測度と不変密度（大学院数学力学系・エルゴード理論）
バーコフのエルゴード定理と時間平均（大学院数学力学系・エルゴード理論）

説明

リャプノフ指数 $λ (x) = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} lo g ∣ (f^{n})^{'} (x) ∣$ は、点 $x$ のすぐ近くの 2 点の距離が $f$ を 1 回施すごとに平均して何倍（ $e^{λ}$ 倍）に広がるかを表す量です。 $λ > 0$ なら近い軌道が指数的に離れていく（初期値鋭敏性、カオス）ことを、 $λ < 0$ なら近い軌道が引き寄せ合うことを示します。この技能では、周期点では乗数から、エルゴード的な不変測度があるときはほとんどすべての点で積分 $\int lo g ∣ f^{'} ∣ d μ$ から、極限を直接追わずに $λ$ を求めます。区分線形な写像では、各方向の伸縮率の対数を平均すればよくなります。

なぜそうしてよいのか

出発点は連鎖律です。 $x_{k} = f^{k} (x)$ とおくと $(f^{n})^{'} (x) = \prod_{k = 0}^{n - 1} f^{'} (x_{k})$ なので、対数をとれば積が和になり
$\frac{1}{n} lo g ∣ (f^{n})^{'} (x) ∣ = \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 lo g ∣ f^{'} (f^{k} x) ∣$
となります（軌道上で $f^{'} (x_{k}) \neq = 0$ とします）。つまりリャプノフ指数は、関数 $φ = lo g ∣ f^{'} ∣$ の軌道に沿った時間平均にほかなりません。

$x = p_{0}$ が周期 $q$ の点なら、軌道は $p_{0}, \dots, p_{q - 1}$ を繰り返すので、 $n = k q + r$ （ $0 \leq r < q$ ）回までの和は $k \sum_{i = 0}^{q - 1} lo g ∣ f^{'} (p_{i}) ∣$ に高々 $q$ 個の項を足したものです。 $n$ で割って $n \to \infty$ とすると余りの寄与は $0$ に消え、 $λ (p_{0}) = \frac{1}{q} \sum_{i = 0}^{q - 1} lo g ∣ f^{'} (p_{i}) ∣ = \frac{1}{q} lo g ∣ (f^{q})^{'} (p_{0}) ∣$ （乗数の絶対値の対数を周期で割ったもの）になります。一方、 $μ$ がエルゴード的な不変確率測度で $lo g ∣ f^{'} ∣$ が $μ$ について積分可能なら、バーコフのエルゴード定理を $φ = lo g ∣ f^{'} ∣$ に使って、 $μ$ についてほとんどすべての $x$ で $λ (x) = \int lo g ∣ f^{'} ∣ d μ$ となります。区分線形写像では $∣ f^{'} ∣$ が各区間で一定なので、積分は「各区間の測度 $\times$ その区間の傾きの絶対値の対数」の和です。

平面の区分線形写像で、微分が各領域で $(a 0 0 b)$ のように座標軸方向を別々に伸縮する場合は、 $n$ 回後の微分も対角行列で、成分は各方向の伸縮率の積です。そこで横方向と縦方向それぞれについて同じ議論をすると、2 つのリャプノフ指数 $\int lo g ∣ a ∣ d μ$ と $\int lo g ∣ b ∣ d μ$ が得られます。

手順

$f^{'}$ を求める。区分線形なら各区間での傾きを書き出す（区間の端点など有限個の点は測度 $0$ なので無視してよい）
周期点のリャプノフ指数を問われたら、周期 $q$ の軌道 $p_{0}, \dots, p_{q - 1}$ を求め $λ = \frac{1}{q} \sum_{i = 0}^{q - 1} lo g ∣ f^{'} (p_{i}) ∣$ を計算する
ほとんどすべての点での値を問われたら、エルゴード的な不変確率測度 $μ$ （不変密度）を確認し、 $lo g ∣ f^{'} ∣$ が $μ$ について積分可能であることを確かめる
$λ = \int lo g ∣ f^{'} ∣ d μ$ を計算する。区分線形なら $λ = \sum_{j} μ (I_{j}) lo g ∣ s_{j} ∣$ （ $s_{j}$ は区間 $I_{j}$ での傾き）
平面の区分線形写像では、各方向の伸縮率 $a, b$ について $\int lo g ∣ a ∣ d μ$ , $\int lo g ∣ b ∣ d μ$ を別々に計算する

例題

$[0, 1)$ 上の写像 $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 4 x \frac{4 x - 1}{3} (0 \leq x < \frac{1}{4}) (\frac{1}{4} \leq x < 1)$ はルベーグ測度を保ち、ルベーグ測度についてエルゴード的である。ルベーグ測度についてほとんどすべての $x$ でのリャプノフ指数 $λ (x)$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1 傾きは $[0, \frac{1}{4})$ で $4$ 、 $[\frac{1}{4}, 1)$ で $\frac{4}{3}$ 。

手順 2 周期点についての問いではないので、この手順は使わない。

手順 3 不変測度を確認する。 $0 < y < 1$ の逆像は $\frac{y}{4} \in [0, \frac{1}{4})$ と $\frac{3 y + 1}{4} \in [\frac{1}{4}, 1)$ の 2 点で、密度 $1$ に対する転送は $\frac{1}{4} + \frac{1}{4/3} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ 。よってルベーグ測度は不変で、問題文よりエルゴード的である。 $lo g ∣ f^{'} ∣$ は有界（値は $lo g 4$ と $lo g \frac{4}{3}$ ）なので積分可能である。

手順 4 $lo g ∣ f^{'} ∣$ は区間ごとに定数なので
$λ = \int_{0}^{1} lo g ∣ f^{'} (x) ∣ d x = \frac{1}{4} lo g 4 + \frac{3}{4} lo g \frac{4}{3} .$
整理すると $\frac{1}{4} lo g 4 + \frac{3}{4} lo g 4 - \frac{3}{4} lo g 3 = lo g 4 - \frac{3}{4} lo g 3 = 2 lo g 2 - \frac{3}{4} lo g 3$ 。
（ $\approx 1.386 - 0.824 = 0.562 > 0$ なので、ほとんどすべての軌道で初期値鋭敏性がある。）

手順 5 1 次元の写像なので、この手順は使わない。

よって $λ (x) = 2 lo g 2 - \frac{3}{4} lo g 3$ （ほとんどすべての $x$ ）。

答え: $2 lo g 2 - \frac{3}{4} lo g 3$

よくある誤り

傾きの平均の対数 $lo g \int ∣ f^{'} ∣ d μ$ を計算してしまう誤り。例題では $lo g (\frac{1}{4} \cdot 4 + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}) = lo g 2$ になる。正しくは対数の平均 $\int lo g ∣ f^{'} ∣ d μ = \frac{1}{4} lo g 4 + \frac{3}{4} lo g \frac{4}{3}$ で、一般に $\int lo g ∣ f^{'} ∣ d μ \leq lo g \int ∣ f^{'} ∣ d μ$ なので値は小さくなる。
各区間の重みを区間の長さではなく等しく $\frac{1}{2}$ ずつにしてしまう誤り（ $\frac{1}{2} lo g 4 + \frac{1}{2} lo g \frac{4}{3}$ など）。正しくは不変測度 $μ$ で重みをつけ、例題ではルベーグ測度なので重みは区間の長さ $\frac{1}{4}, \frac{3}{4}$ 。
周期点の指数を乗数の対数そのもの $lo g ∣ (f^{q})^{'} (p_{0}) ∣$ としてしまう誤り。正しくは周期 $q$ で割って $λ (p_{0}) = \frac{1}{q} lo g ∣ (f^{q})^{'} (p_{0}) ∣$ 。例題の写像では、 $p_{0} = \frac{1}{13} \in [0, \frac{1}{4})$ , $p_{1} = f (p_{0}) = \frac{4}{13} \in [\frac{1}{4}, 1)$ , $f (p_{1}) = \frac{16/13 - 1}{3} = \frac{1}{13}$ が周期 2 の軌道で、乗数は $4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$ 。 $λ = lo g \frac{16}{3}$ ではなく $λ = \frac{1}{2} lo g \frac{16}{3}$ 。また唯一の不動点 $0$ では $λ (0) = lo g 4$ で、どちらもほとんどすべての点での値 $2 lo g 2 - \frac{3}{4} lo g 3$ とは異なる（周期点の集合は測度 $0$ ）。
$lo g ∣ f^{'} ∣$ の積分可能性や $f^{'} \neq = 0$ を確かめずに積分公式を使ってしまう誤り。たとえば $f (x) = 4 x (1 - x)$ では $x = \frac{1}{2}$ で $f^{'} = 0$ となり $lo g ∣ f^{'} ∣$ は $- \infty$ に発散するが、不変密度 $\frac{1}{π x ( 1 - x )}$ に関して広義積分として収束することを確かめてから $\int lo g ∣ f^{'} ∣ d μ$ を計算する必要がある。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
写像 $f : [0, 1] \to [0, 1]$ , $f (x) = 4 x (1 - x)$ を考える。点 $p = \frac{5 + 5}{8}$ は $f$ の最小周期 $2$ の周期点である。 $p$ におけるリャプノフ指数
$λ (p) = n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g ∣ (f^{n})^{'} (p) ∣$
を求めよ。ただし $lo g$ は自然対数とする。

リャプノフ指数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

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