力学系・エルゴード理論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学力学系・エルゴード理論

$M = (0, \infty) \times (R /2 π Z)$ を座標 $(r, θ)$ をもつ円柱とし、その上の滑らかなベクトル場が定める常微分方程式系
$⎩ ⎨ ⎧ \frac{d r}{d t} = r (1 - r^{2}) (3 - sin θ) \frac{d θ}{d t} = 2 + sin θ + (1 - r^{2})$
を考える。この系が定める流れを $φ_{t} : M \to M$ とし、接ベクトル $(u, w) \in T_{p} M ≅ R^{2}$ のノルムを $∥ (u, w) ∥ = u^{2} + w^{2}$ で定める。

点 $p = (1, 0) \in M$ と $0$ でない接ベクトル $v \in T_{p} M$ に対し、リャプノフ指数を
$λ (p, v) = t \to \infty lim \frac{1}{t} lo g ∥ D φ_{t} (p) v ∥$
で定める（この極限はすべての $v \neq = 0$ に対して存在する）。 $v$ が $T_{p} M ∖ {0}$ 全体を動くときに $λ (p, v)$ がとる値の集合を求めよ。

この問題で使うもの

リャプノフ指数（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

点 $p$ は不変円 $r = 1$ 上にあり、この円は周期軌道です。周期軌道上のリャプノフ指数はフロケ指数（モノドロミー行列の固有値の対数を周期で割ったもの）で与えられます。

ヒント 2

$r = 1$ で線形化すると $\partial r ˙ / \partial θ = 0$ となるので、変分方程式は三角型になります。対角成分の時間積分は、 $d t = d θ / (2 + sin θ)$ と置き換えて $θ$ の積分に直せます。

ヒント 3

周期は $T = 2 π / 3$ です。 $u$ 成分の指数は $\frac{- 2}{T} \int_{0}^{2 π} \frac{3 - sin θ}{2 + sin θ} d θ$ 、 $w$ 成分の指数は $\int_{0}^{2 π} \frac{cos θ}{2 + sin θ} d θ = 0$ から求まります。

答えと解説

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{0, 23 - 10}

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解説を読む

1. 周期軌道. $r = 1$ のとき $\frac{d r}{d t} = 0$ なので、円 $γ = {r = 1}$ は不変である。その上では $\frac{d θ}{d t} = 2 + sin θ \geq 1 > 0$ だから、 $γ$ は周期軌道であり、点 $p = (1, 0)$ はその上にある。周期は
$T = \int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{2 + sin θ} = \frac{2 π}{2 ^{2} - 1} = \frac{2 π}{3}$
である。

2. 変分方程式. ベクトル場の偏導関数を $r = 1$ で評価すると
$\frac{\partial r ˙}{\partial r} = (1 - 3 r^{2}) (3 - sin θ) = - 2 (3 - sin θ), \frac{\partial r ˙}{\partial θ} = - r (1 - r^{2}) cos θ = 0,$
$\frac{\partial θ ˙}{\partial r} = - 2 r = - 2, \frac{\partial θ ˙}{\partial θ} = cos θ$
となる。よって $θ (t)$ を $γ$ 上の解とすると、 $D φ_{t} (p) v = (u (t), w (t))$ は次をみたす。
$u^{'} = - 2 (3 - sin θ (t)) u, w^{'} = - 2 u + cos θ (t) w .$
これは三角型の線形周期系（周期 $T$ ）である。

3. モノドロミー行列の固有値. 1 周期後の写像（モノドロミー行列）は三角行列になり、その対角成分が固有値（フロケ乗数）である。

- $u$ 成分：
$\int_{0}^{T} (3 - sin θ (t)) d t = \int_{0}^{2 π} \frac{3 - sin θ}{2 + sin θ} d θ = \int_{0}^{2 π} (\frac{5}{2 + sin θ} - 1) d θ = 5 T - 2 π .$
したがって乗数は $exp (- 2 (5 T - 2 π))$ である。
- $w$ 成分：
$\int_{0}^{T} cos θ (t) d t = \int_{0}^{2 π} \frac{cos θ}{2 + sin θ} d θ = [lo g (2 + sin θ)]_{0}^{2 π} = 0.$
したがって乗数は $1$ である。これは流れの方向に対応する自明な乗数と一致する。

4. リャプノフ指数. フロケ指数は（乗数の $lo g$ ） $/ T$ で与えられる。
$λ_{-} = \frac{- 2 ( 5 T - 2 π )}{T} = - 10 + \frac{4 π}{T} = - 10 + \frac{4 π 3}{2 π} = 23 - 10, λ_{0} = 0.$
2 つの乗数 $1$ と $e^{T λ_{-}}$ は異なるので、モノドロミー行列は対角化できる。

流れの方向 $v = X (p)$ に対しては $D φ_{t} (p) X (p) = X (φ_{t} (p))$ が有界で $0$ にならないので、 $λ = 0$ である。
乗数 $e^{T λ_{-}}$ の固有ベクトル方向（強安定方向）では $λ = 23 - 10$ である。
それ以外の $v$ は両方向の成分をもつので、大きい方の指数 $0$ をとる。

（極座標 $(r, θ)$ のノルムを使っているが、 $γ$ の近傍で考えているので、ほかの同値なノルムを使っても指数は変わらない。）

よって求める集合は ${0, 23 - 10}$ である。

別解

円周 $r = 1$ は不変で、その上では $θ ˙ = 2 + sin θ > 0$ なので周期軌道である。周期は $T = \int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{2 + s i n θ} = \frac{2 π}{3}$ 。

$r = 1$ での線形化は、 $f = r (1 - r^{2}) (3 - sin θ)$ 、 $g = 3 + sin θ - r^{2}$ として
$A (θ) = (- 2 (3 - sin θ) - 2 0 cos θ)$ 。

接ベクトルを $(u, w)$ と書くと、 $u ˙ = - 2 (3 - sin θ) u$ 、 $w ˙ = - 2 u + cos θ w$ 。

$u$ 成分のリャプノフ指数は時間平均で求める。
$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} (- 2) (3 - sin θ) d t = \frac{- 2}{T} \int_{0}^{2 π} \frac{3 - s i n θ}{2 + s i n θ} d θ$ 。
$\frac{3 - s i n θ}{2 + s i n θ} = - 1 + \frac{5}{2 + s i n θ}$ より、積分は $- 2 π + \frac{10 π}{3}$ 。
よって指数は $- 2 (5 - 3) = 23 - 10$ 。

$w$ 成分について、 $\frac{d}{d t} lo g (2 + sin θ) = cos θ$ だから、 $u = 0$ のときの基本解は $Φ (t) = 2 + sin θ (t)$ で有界かつ正の下限をもつ。したがって指数は $0$ 。

一般の解は $w = Φ (t) [w_{0} - 2 \int_{0}^{t} u /Φ d s]$ 。 $u$ は指数 $23 - 10$ で減衰するので積分は収束する。極限値 $c = w_{0} - 2 \int_{0}^{\infty} u /Φ d s$ が $0$ でなければ $∥ D φ_{t} v ∥$ は有界で下からも評価され、指数は $0$ 。
$c = 0$ となるのは 1 次元部分空間（強安定方向）だけで、そこでは $w$ も $u$ と同じ速さで減衰し、指数は $23 - 10$ 。

よってとりうる値の集合は ${23 - 10, 0}$ 。

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