力学系・エルゴード理論の問題

方針. 連鎖律より $\log |(f^n{)}^{\prime }(x)|={\sum }_{k=0}^{n-1}\log |f^{\prime }(f^{k}x)|$ なので、$\lambda (x)$ は関数 $\psi =\log |f^{\prime }|$ の時間平均である。バーコフのエルゴード定理より、絶対連続なエルゴード的不変確率測度 $\mu$ について $\mu$-ほとんどすべての $x$ で $\lambda (x)=\int \psi d\mu$ となる。そこで $\mu$ の密度を求める。

マルコフ分割. $A=\left[0,\frac{1}{4}\right)$, $B=\left[\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$, $C=\left[\frac{1}{2},1\right)$ とおくと
- $f(A)=[0,1)=A\cup B\cup C$（傾き $4$）
- $f(B)=\left[\frac{1}{2},1\right)=C$（傾き $2$）
- $f(C)=\left[0,\frac{1}{2}\right)=A\cup B$（傾き $1$）

であり、各区間上で $f$ は 1 次関数である。そこで密度を $A,B,C$ 上でそれぞれ定数 $h_A,h_B,h_C$ と仮定する。

不変密度（ペロン・フロベニウス方程式）. 不変密度 $h$ は $h(y)={\sum }_{f(x)=y}\frac{h(x)}{|f^{\prime }(x)|}$ を満たす。
- $y\in A$: 逆像は $A$ と $C$ に 1 つずつ: $h_A=\frac{h_A}{4}+h_C$
- $y\in B$: 逆像は $A$ と $C$ に 1 つずつ: $h_B=\frac{h_A}{4}+h_C$
- $y\in C$: 逆像は $A$ と $B$ に 1 つずつ: $h_C=\frac{h_A}{4}+\frac{h_B}{2}$

第 1 式と第 2 式から $h_B=h_A$、第 1 式から $h_C=\frac{3}{4}{h}_A$。第 3 式は $\frac{1}{4}{h}_A+\frac{1}{2}{h}_A=\frac{3}{4}{h}_A$ となり成り立つ。正規化条件
$$\frac{1}{4}{h}_A+\frac{1}{4}{h}_B+\frac{1}{2}{h}_C=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{3}{8}\right)h_A=\frac{7}{8}{h}_A=1$$
より $h_A=h_B=\frac{8}{7}$, $h_C=\frac{6}{7}$。よって
$$\mu (A)=\frac{2}{7},\mu (B)=\frac{2}{7},\mu (C)=\frac{3}{7}.$$
不変確率測度の一意性から、これが問題の測度 $\mu$ である。

ルベーグ測度との関係. 密度は $X$ 上で $\frac{6}{7}$ 以上の正の値をとるので、$\mu$ とルベーグ測度は互いに絶対連続であり、$\mu$-ほとんどすべてとルベーグ測度に関してほとんどすべては同じ意味になる。

リャプノフ指数. $\psi =\log |f^{\prime }|$ は $A$ 上で $\log 4$, $B$ 上で $\log 2$, $C$ 上で $\log 1=0$ なので
$$\lambda =\int \psi d\mu =\frac{2}{7}\log 4+\frac{2}{7}\log 2+\frac{3}{7}\cdot 0=\frac{4}{7}\log 2+\frac{2}{7}\log 2=\frac{6}{7}\log 2.$$

答えは $\frac{6}{7}\log 2$（約 $0.594$）。

絶対連続不変確率測度 $\mu$ をもちエルゴード的なので、バーコフの定理から、ほとんどすべての $x$ で $\lambda (x)=\int \log |f^{\prime }|d\mu$（定数）。

区間を $A=[0,\frac{1}{4})$、$B=[\frac{1}{4},\frac{1}{2})$、$C=[\frac{1}{2},1)$ とおく。$f(A)=[0,1)$（傾き $4$）、$f(B)=C$（傾き $2$）、$f(C)=[0,\frac{1}{2})=A\cup B$（傾き $1$）で、マルコフ分割になっている。そこで不変密度を $A,B,C$ 上でそれぞれ定数 $h_A,h_B,h_C$ とおいて、フロベニウス・ペロン作用素 $(\mathcal{L}h)(y)={\sum }_{f(x)=y}\frac{h(x)}{|f^{\prime }(x)|}$ の不動点を求める。
- $y\in A$: 原像は $A$ 内（傾き $4$）と $C$ 内（傾き $1$）。$h_A=\frac{h_A}{4}+h_C$
- $y\in B$: 原像は $A$ 内と $C$ 内。$h_B=\frac{h_A}{4}+h_C$
- $y\in C$: 原像は $A$ 内（傾き $4$）と $B$ 内（傾き $2$）。$h_C=\frac{h_A}{4}+\frac{h_B}{2}$

第 1, 2 式より $h_B=h_A$、$h_C=\frac{3}{4}{h}_A$（第 1 式から $h_C=\frac{3}{4}{h}_A$。第 3 式 $\frac{h_A}{4}+\frac{h_A}{2}=\frac{3}{4}{h}_A$ とも整合する）。

規格化: $\frac{1}{4}{h}_A+\frac{1}{4}{h}_B+\frac{1}{2}{h}_C=h_A\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{3}{8}\right)=\frac{7}{8}{h}_A=1$ より $h_A=h_B=\frac{8}{7}$、$h_C=\frac{6}{7}$。

よって $\mu (A)=\frac{2}{7}$、$\mu (B)=\frac{2}{7}$、$\mu (C)=\frac{3}{7}$。

リャプノフ指数は
$$\lambda =\frac{2}{7}\log 4+\frac{2}{7}\log 2+\frac{3}{7}\log 1=\frac{4}{7}\log 2+\frac{2}{7}\log 2=\frac{6}{7}\log 2.$$

検算: $\mu (A)+\mu (B)+\mu (C)=1$。不変性の確認として $\mu (f^{-1}C)=\mu (f^{-1}[\frac{1}{2},1))$ を調べる。$f^{-1}C$ は $A$ の後半 $[\frac{1}{8},\frac{1}{4})$ と $B$ 全体なので $\frac{8}{7}\cdot \frac{1}{8}+\frac{2}{7}=\frac{1}{7}+\frac{2}{7}=\frac{3}{7}=\mu (C)$ で一致する。