力学系・エルゴード理論の問題

$I_1=\left[0,\frac{1}{3}\right)$, $I_2=\left[\frac{1}{3},1\right)$ とおく。$f$ は $I_1$ 上で傾き $2$、$I_2$ 上で傾き $\frac{3}{2}$ の一次関数であり、
$$f(I_1)=\left[\frac{1}{3},1\right)=I_2,f(I_2)=[0,1)=I_1\cup I_2$$
となる。つまり $\{I_1,I_2\}$ はマルコフ分割で、遷移行列は $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$（$A^2$ の成分はすべて正）である。

1. 絶対連続な不変確率測度を求める。

密度 $\rho$ に対するペロン・フロベニウス作用素は
$$(P\rho )(y)=\sum _{f(x)=y}\frac{\rho (x)}{|f^{\prime }(x)|}$$
である。$I_1$, $I_2$ 上でそれぞれ定数 ${\rho }_1,{\rho }_2$ をとる階段関数 $\rho$ を考える。

• $y\in I_1$ のとき、逆像は $I_2$ 内の $x=\frac{2y+1}{3}$ のみ（$I_1$ の像は $I_2$ なので $I_1$ からの逆像はない）。よって $(P\rho )(y)=\frac{2}{3}{\rho }_2$。
• $y\in I_2$ のとき、逆像は $I_1$ 内の $x=\frac{y-1/3}{2}$ と $I_2$ 内の $x=\frac{2y+1}{3}$ の 2 つ。よって $(P\rho )(y)=\frac{1}{2}{\rho }_1+\frac{2}{3}{\rho }_2$。

$P\rho =\rho$ より
$${\rho }_1=\frac{2}{3}{\rho }_2,{\rho }_2=\frac{1}{2}{\rho }_1+\frac{2}{3}{\rho }_2$$
第 2 式は $\frac{1}{3}{\rho }_2=\frac{1}{2}{\rho }_1$、すなわち ${\rho }_1=\frac{2}{3}{\rho }_2$ となり第 1 式と一致する。正規化条件 ${\int }_0^1\rho dx=1$ は
$$\frac{1}{3}{\rho }_1+\frac{2}{3}{\rho }_2=\frac{2}{9}{\rho }_2+\frac{6}{9}{\rho }_2=\frac{8}{9}{\rho }_2=1$$
より ${\rho }_2=\frac{9}{8}$, ${\rho }_1=\frac{3}{4}$。したがって不変確率測度 $\mu =\rho dx$ について
$$\mu (I_1)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{4},\mu (I_2)=\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{8}=\frac{3}{4}$$

$f$ は一様拡大的（$|f^{\prime }|\ge \frac{3}{2}>1$）な区分的一次マルコフ写像で、遷移行列 $A$ は既約かつ非周期的なので、ルベーグ測度に絶対連続な不変確率測度はこの $\mu$ ただ 1 つで、$\mu$ はエルゴード的である。また $\rho >0$ なので $\mu$ とルベーグ測度は互いに絶対連続である。

2. リャプノフ指数を計算する。

連鎖律より
$$\frac{1}{n}\log |(f^n{)}^{\prime }(x)|=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\log |f^{\prime }(f^k(x))|$$
である。$\log |f^{\prime }|$ は有界で $\mu$ 可積分なので、バーコフのエルゴード定理より $\mu$-a.e.（したがってルベーグ測度に関して a.e.）の $x$ で
$$\lambda ={\int }_X\log |f^{\prime }|d\mu =\mu (I_1)\log 2+\mu (I_2)\log \frac{3}{2}=\frac{1}{4}\log 2+\frac{3}{4}(\log 3-\log 2)$$
よって
$$\lambda =\frac{3}{4}\log 3-\frac{1}{2}\log 2(\approx 0.477)$$

（注意: ルベーグ測度は不変ではないので、${\int }_0^1\log |f^{\prime }|dx=\frac{1}{3}\log 2+\frac{2}{3}\log \frac{3}{2}$ は正しい値ではない。）

$A=[0,\frac{1}{3})$, $B=[\frac{1}{3},1)$ とおく。$f$ は $A$ 上で傾き $2$ で $A$ を $B$ の上へ（$f(A)=[\frac{1}{3},1)=B$）、$B$ 上で傾き $\frac{3}{2}$ で $B$ を $[0,1)=A\cup B$ の上へ写す区分線形マルコフ写像である（$f(\frac{1}{3})=0$, $f(1^{-})=1$）。

絶対連続不変測度の密度を $A$ 上で $h_A$、$B$ 上で $h_B$（定数）とおく。フロベニウス・ペロン作用素の不変性より
- $y\in A$ の逆像は $B$ 内の 1 点のみ: $h_A=h_B/(3/2)=\frac{2}{3}{h}_B$
- $y\in B$ の逆像は $A$ 内と $B$ 内に 1 点ずつ: $h_B=h_A/2+h_B/(3/2)=\frac{1}{2}{h}_A+\frac{2}{3}{h}_B$ （これは $h_A=\frac{2}{3}{h}_B$ と同値で整合する）

正規化 $\frac{1}{3}{h}_A+\frac{2}{3}{h}_B=1$ より $\frac{2}{9}{h}_B+\frac{2}{3}{h}_B=\frac{8}{9}{h}_B=1$、$h_B=\frac{9}{8}$, $h_A=\frac{3}{4}$。よって $\mu (A)=\frac{1}{4}$, $\mu (B)=\frac{3}{4}$。

この測度は遷移行列が既約・非周期的（$A\to B$, $B\to A,B$）なマルコフ構造からエルゴード的で、ルベーグ測度に絶対連続。したがってほとんどすべての $x$ でバーコフの定理により
$$\lambda =\int \log |f^{\prime }|d\mu =\frac{1}{4}\log 2+\frac{3}{4}\log \frac{3}{2}=\frac{3}{4}\log 3-\frac{1}{2}\log 2.$$

検算: $\frac{1}{4}\log 2+\frac{3}{4}(\log 3-\log 2)=\frac{3}{4}\log 3-\frac{1}{2}\log 2\approx 0.8240-0.3466=0.4774>0$。また $\mu (A)$ は定常分布 ${\pi }_A={\pi }_B\cdot$（$B$ から $A$ へ移る確率）で確認でき、$B\to A$ の推移確率（ルベーグ比）は $\frac{1/3}{1}\cdot$ ではなく $h$ 重みで $\mu (A)=\mu (B\cap f^{-1}A)=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4}$ と一致する（$B$ の $f^{-1}A$ 部分は $B$ の測度の $\frac{1}{3}$）。