不変測度と不変密度

$μ (f^{- 1} A) = μ (A)$ を確かめ、区分的に単調な写像の不変密度を転送作用素の方程式 $ρ (y) = \sum_{f (x) = y} \frac{ρ ( x )}{∣ f ^{'} ( x ) ∣}$ から求められる（例: $f (x) = x + \frac{1}{2} (0 \leq x < \frac{1}{2})$ , $2 x - 1 (\frac{1}{2} \leq x < 1)$ の不変確率密度は $[0, \frac{1}{2})$ で $\frac{2}{3}$ , $[\frac{1}{2}, 1)$ で $\frac{4}{3}$ ）

前提

ルベーグ積分の計算（大学院数学測度論・実解析）
確率変数の変換（大学数学確率・統計）

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算数中学高校大学大学院

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説明

写像 $f$ で点を動かしても全体の分布が変わらない測度（不変測度）を求めます。区間上の区分的に単調な写像では、不変測度を密度 $ρ$ で表すと「 $X$ の密度が $ρ$ なら $Y = f (X)$ の密度も $ρ$ 」という方程式（転送作用素の方程式）になり、区分的に線形な写像なら各区間での定数の連立 1 次方程式に帰着して解けます。求めた密度は、その分布に従って点をばらまき $f$ で何回動かしても分布が変わらない、という不変な分布を表し、力学系の統計的な振る舞いを調べる出発点になります（ただし、これが 1 本の軌道の長時間の滞在割合と一致するのは「エルゴード性」という追加の条件があるときに限られます。たとえば恒等写像 $f (x) = x$ ではどんな分布も不変ですが、点は動かないので滞在割合は初期点だけで決まります）。

なぜそうしてよいのか

測度 $μ$ が $f$ で不変であるとは、すべての可測集合 $A$ で $μ (f^{- 1} A) = μ (A)$ が成り立つことです。 $μ$ を確率分布とみて $X$ が分布 $μ$ に従うとすると、 $P (f (X) \in A) = P (X \in f^{- 1} A) = μ (f^{- 1} A)$ なので、不変性は「 $f (X)$ がまた分布 $μ$ に従う」ことと同じです（ $A$ を $f (A)$ にするのではなく、逆像 $f^{- 1} A$ をとるのがポイントです）。

$μ$ が密度 $ρ$ をもつとき、 $Y = f (X)$ の密度を確率変数の変換で求めます。 $f$ が区間 $I_{1}, \dots, I_{m}$ のそれぞれの上で微分可能かつ狭義単調なら、 $f (x) = y$ の解は各区間に高々 1 つずつあり、1 変数の変換の公式をそれぞれの枝に使って足し合わせると、 $Y$ の密度は $f (x) = y \sum \frac{ρ ( x )}{∣ f ^{'} ( x ) ∣}$ になります（枝ごとに逆関数の微分係数が $1/ f^{'} (x)$ であることから）。これが $ρ (y)$ に等しいことが不変性の条件です: $ρ (y) = f (x) = y \sum \frac{ρ ( x )}{∣ f ^{'} ( x ) ∣} .$

$f$ が区分的に線形で、各枝が自分の区間 $I_{j}$ を、分点で区切った区間 $I_{k}$ のいくつかの和にちょうど写す場合を考えます（例題では $I_{1}$ が $I_{1} \cup I_{2}$ に、 $I_{2}$ が $I_{1}$ にちょうど写ります）。このとき $ρ$ を各区間で定数とおくと、どの $y \in I_{k}$ についても逆像の入る区間と $∣ f^{'} ∣$ が同じなので右辺も各 $I_{k}$ で定数になり、方程式は定数についての連立 1 次方程式になります。解は定数倍の自由度を残すので、最後に $\int_{0}^{1} ρ d x = 1$ で確率密度に正規化します。

手順

写像の分点で区間を $I_{1}, \dots, I_{m}$ に分け、各区間で $ρ = c_{j}$ （定数）とおく（各枝が $I_{j}$ を $I_{k}$ たちの和にちょうど写す区分的線形写像の場合）
各 $y \in I_{k}$ について、 $f (x) = y$ の解 $x$ をすべての枝で求め、それぞれがどの区間に入るかと $∣ f^{'} (x) ∣$ を調べる
転送作用素の方程式 $ρ (y) = \sum_{f (x) = y} \frac{ρ ( x )}{∣ f ^{'} ( x ) ∣}$ を各 $I_{k}$ で書き、 $c_{j}$ の連立 1 次方程式を立てて比を求める
正規化条件 $\sum_{j} c_{j} ∣ I_{j} ∣ = 1$ （ $∣ I_{j} ∣$ は区間の長さ）で定数を決める
検算として、ある区間 $A$ で $μ (f^{- 1} A) = μ (A)$ を確かめる

例題

$[0, 1)$ 上の写像 $f (x) = {2 x x - \frac{1}{2} (0 \leq x < \frac{1}{2}) (\frac{1}{2} \leq x < 1)$ の不変確率密度 $ρ$ は $[0, \frac{1}{2})$ と $[\frac{1}{2}, 1)$ のそれぞれで定数である。 $[0, \frac{1}{2})$ での値と $[\frac{1}{2}, 1)$ での値を順に求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $I_{1} = [0, \frac{1}{2})$ , $I_{2} = [\frac{1}{2}, 1)$ とし、 $ρ = a$ （ $I_{1}$ 上）、 $ρ = b$ （ $I_{2}$ 上）とおく。第 1 枝は $I_{1}$ を $I_{1} \cup I_{2} = [0, 1)$ へ、第 2 枝は $I_{2}$ を $I_{1}$ へちょうど写す。

【手順 2】 $y \in I_{1}$ のとき: $f (x) = y$ の解は $x = \frac{y}{2} \in [0, \frac{1}{4}) \subset I_{1}$ （ $∣ f^{'} ∣ = 2$ ）と $x = y + \frac{1}{2} \in I_{2}$ （ $∣ f^{'} ∣ = 1$ ）の 2 つ。
$y \in I_{2}$ のとき: 解は $x = \frac{y}{2} \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) \subset I_{1}$ （ $∣ f^{'} ∣ = 2$ ）の 1 つだけ（第 2 枝の値は $I_{1}$ にしかない）。

【手順 3】 $I_{1}$ 上: $a = \frac{a}{2} + \frac{b}{1}$ 、 $I_{2}$ 上: $b = \frac{a}{2}$ 。どちらも $b = \frac{a}{2}$ を与える。

【手順 4】 $\int_{0}^{1} ρ d x = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} = \frac{3 a}{4} = 1$ より $a = \frac{4}{3}$ , $b = \frac{2}{3}$ 。

【手順 5】検算: $A = [0, \frac{1}{2})$ とすると $f^{- 1} A = [0, \frac{1}{4}) \cup [\frac{1}{2}, 1)$ で、 $μ (f^{- 1} A) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$ 、 $μ (A) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$ で一致する。

答え: $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

よくある誤り

不変性を $μ (f (A)) = μ (A)$ で確かめてしまう誤り（例: 上の例で $A = [0, \frac{1}{4})$ とすると $f (A) = [0, \frac{1}{2})$ で $\frac{2}{3} \neq = \frac{1}{3}$ となり、不変でないと誤判定する）。正しくは逆像で確かめる: $f^{- 1} A = [0, \frac{1}{8}) \cup [\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ で $μ (f^{- 1} A) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{3} = μ (A)$ 。
$∣ f^{'} (x) ∣$ で割らずに掛けてしまう誤り（例: $a = 2 a + b$ とする）。引き伸ばされた部分ほど密度は薄まるので、正しくは $ρ (y) = \sum \frac{ρ ( x )}{∣ f ^{'} ( x ) ∣}$ 、例では $a = \frac{a}{2} + b$ 。
逆像の一部を数え落とす誤り（例: $y \in I_{1}$ の逆像を $x = \frac{y}{2}$ だけとして $a = \frac{a}{2}$ とし、 $a = 0$ を導く）。正しくは $f (x) = y$ の解をすべての枝で探し、 $x = y + \frac{1}{2}$ の寄与 $b$ も足す。
正規化を忘れて比 $a : b = 2 : 1$ のまま答えたり、区間の長さを掛けずに $a + b = 1$ としてしまう誤り。正しくは $\int_{0}^{1} ρ d x = a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \frac{1}{2} = 1$ から $a = \frac{4}{3}$ , $b = \frac{2}{3}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
区間 $X = [0, 1)$ 上の写像 $f : X \to X$ を
$f (x) = {3 x x - \frac{1}{3} (0 \leq x < \frac{1}{3}) (\frac{1}{3} \leq x < 1)$
で定める。 $X$ 上の確率測度 $μ$ で、ルベーグ測度に関する密度 $ρ$ をもち、すべてのボレル集合 $A \subset X$ について $μ (f^{- 1} A) = μ (A)$ をみたすものがただ 1 つ存在し、その密度は 3 つの区間
$J_{1} = [0, \frac{1}{3}), J_{2} = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}), J_{3} = [\frac{2}{3}, 1)$
のそれぞれの上で定数であることが知られている。 $ρ$ の $J_{1}, J_{2}, J_{3}$ 上での値を $ρ_{1}, ρ_{2}, ρ_{3}$ とするとき、組 $(ρ_{1}, ρ_{2}, ρ_{3})$ をこの順に求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

バーコフのエルゴード定理と時間平均（大学院数学力学系・エルゴード理論）