力学系・エルゴード理論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル証明問題大学院数学力学系・エルゴード理論

$T = R / Z$ を円周とし、倍写像 $T : T \to T$ , $T (x) = 2 x (mod 1)$ を考える（ $T$ は連続である）。 $T$ 上のボレル確率測度 $ν$ が $T$ -不変であるとは、すべてのボレル集合 $A \subset T$ に対して $ν (T^{- 1} (A)) = ν (A)$ が成り立つことをいう。 $m$ を $T$ 上のルベーグ測度（ $[0, 1)$ と同一視したときのルベーグ測度）とする。整数 $k$ に対し $e_{k} (x) = e^{2 π ik x}$ とおき、ボレル確率測度 $ν$ のフーリエ係数を
$ν^(k) = \int_{T} e_{k} d ν (k \in Z)$
で定める。

次の事実は用いてよい。
- (F1) 三角多項式 $\sum_{∣ k ∣ \leq N} c_{k} e_{k}$ （ $N \geq 0$ , $c_{k} \in C$ ）全体は、 $T$ 上の複素数値連続関数全体の中で一様ノルムに関して稠密である。
- (F2) $T$ 上の 2 つのボレル確率測度 $ν_{1}, ν_{2}$ が、すべての実数値連続関数 $f$ について $\int f d ν_{1} = \int f d ν_{2}$ を満たすならば $ν_{1} = ν_{2}$ である。

$ν$ を $T$ -不変なボレル確率測度とし、 $∣ k ∣ \to \infty lim ν^(k) = 0$ が成り立つとする。このとき $ν = m$ であることを証明せよ。

この問題で使うもの

不変測度と不変密度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（67 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

(F1)(F2) を使えば、 $ν$ と $m$ のフーリエ係数がすべて一致することを示せば十分です。不変性がフーリエ係数にどんな関係を与えるかを調べましょう。

ヒント 2

$e_{k} \circ T = e_{2 k}$ が成り立ちます。不変性から $\int g \circ T d ν = \int g d ν$ を導き、 $g = e_{k}$ に使ってみましょう。

ヒント 3

$ν^(2 k) = ν^(k)$ を繰り返すと $ν^(2^{j} k) = ν^(k)$ です。 $k \neq = 0$ のとき $j \to \infty$ とすると仮定から何がわかるかを考え、 $m$ のフーリエ係数と比べましょう。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

不変性 $ν (T^{- 1} A) = ν (A)$ から、指示関数・単関数・一様極限を経て、有界可測（または連続）関数 $g$ について $\int g \circ T d ν = \int g d ν$ を導いている（2 点）
$e_{k} \circ T = e_{2 k}$ を（ $mod 1$ の取り方によらないことも含めて）確かめ、 $ν^(2 k) = ν^(k)$ を示している（3 点）
帰納法で $ν^(2^{j} k) = ν^(k)$ とし、 $k \neq = 0$ では $∣ 2^{j} k ∣ \to \infty$ と仮定から $ν^(k) = 0$ を導いている（2 点）
$m$ のフーリエ係数を計算して $ν$ のものと一致することを確かめ、三角多項式の積分が一致することを述べている（1 点）
(F1) による一様近似の評価と (F2) から $ν = m$ を結論している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

$e_{k}$ は周期 $1$ の連続関数なので $T$ 上の連続関数として定まり、 $∣ e_{k} ∣ = 1$ である。

Step 1: 不変測度に対する積分の不変性. $ν$ が $T$ -不変ならば、有界なボレル可測関数 $g : T \to C$ に対して
$\int g \circ T d ν = \int g d ν (1)$
が成り立つ。実際、 $g = 1_{A}$ （ $A$ はボレル集合）のときは $1_{A} \circ T = 1_{T^{- 1} (A)}$ なので、 $(1)$ は不変性の定義 $ν (T^{- 1} (A)) = ν (A)$ そのものである。積分の線形性から $(1)$ は単関数でも成り立つ。有界な実数値ボレル可測関数 $g$ は単関数 $s_{n}$ の一様極限であり、このとき $s_{n} \circ T$ も $g \circ T$ に一様収束するので、確率測度による積分は両辺とも収束し、 $(1)$ が成り立つ。複素数値の $g$ には実部と虚部に分けて適用すればよい（ $T$ は連続なので $g \circ T$ もボレル可測である）。

Step 2: $ν^(2 k) = ν^(k)$ . $x \in R$ の代表元で考えると $T (x) = 2 x - ⌊ 2 x ⌋$ であり、 $e^{- 2 π ik ⌊ 2 x ⌋} = 1$ なので
$e_{k} (T (x)) = e^{2 π ik (2 x - ⌊ 2 x ⌋)} = e^{2 π i (2 k) x} = e_{2 k} (x) .$
すなわち $e_{k} \circ T = e_{2 k}$ 。 $e_{k}$ は有界連続なので $(1)$ が使え、
$ν^(2 k) = \int e_{2 k} d ν = \int e_{k} \circ T d ν = \int e_{k} d ν = ν^(k) .$

Step 3: $k \neq = 0$ なら $ν^(k) = 0$ . まず、すべての $j \geq 0$ について $ν^(2^{j} k) = ν^(k)$ であることを $j$ についての帰納法で示す。 $j = 0$ では自明。 $j$ で成り立つとすると、Step 2 を $2^{j} k$ に適用して $ν^(2^{j + 1} k) = ν^(2^{j} k) = ν^(k)$ 。
$k \neq = 0$ とすると $∣ 2^{j} k ∣ = 2^{j} ∣ k ∣ \to \infty (j \to \infty)$ なので、仮定 $lim_{∣ k ∣ \to \infty} ν^(k) = 0$ より
$ν^(k) = j \to \infty lim ν^(2^{j} k) = 0.$
また $ν^(0) = ν (T) = 1$ である。

Step 4: $m$ のフーリエ係数との一致. $m^(0) = m (T) = 1$ 。 $k \neq = 0$ では
$m^(k) = \int_{0}^{1} e^{2 π ik x} d x = [\frac{e ^{2 π ik x}}{2 π ik}]_{0}^{1} = 0.$
よってすべての $k \in Z$ で $ν^(k) = m^(k)$ であり、積分の線形性からすべての三角多項式 $P$ について $\int P d ν = \int P d m$ が成り立つ。

Step 5: $ν = m$ . $f$ を実数値連続関数、 $ε > 0$ とする。(F1) より $sup_{x} ∣ f (x) - P (x) ∣ < ε$ となる三角多項式 $P$ がある。 $ν, m$ は確率測度なので、Step 4 を使って
$\int f d ν - \int f d m \leq \int ∣ f - P ∣ d ν + \int P d ν - \int P d m + \int ∣ P - f ∣ d m < ε + 0 + ε = 2 ε .$
$ε > 0$ は任意なので $\int f d ν = \int f d m$ 。これがすべての実数値連続関数 $f$ について成り立つので、(F2) より $ν = m$ である。

以上より、 $T$ -不変なボレル確率測度 $ν$ が $lim_{∣ k ∣ \to \infty} ν^(k) = 0$ を満たすならば $ν = m$ である。 $■$

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

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