力学系・エルゴード理論の問題

実数 $\omega$ をパラメータとし、$F_{\omega }:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を
$$F_{\omega }(x)=x+\omega +\frac{1}{4\pi }\sin (2\pi x)$$
で定める（$\sin$ の引数は弧度法）。$F_{\omega }$ は狭義単調増加で $F_{\omega }(x+1)=F_{\omega }(x)+1$ を満たすので、円周 $S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ の向きを保つ同相写像の持ち上げである。$F_{\omega }$ の回転数を
$$\rho (F_{\omega })=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{F_{\omega }^n(x)-x}{n}$$
で定める（$F_{\omega }^n$ は $F_{\omega }$ の $n$ 回合成。この極限は存在して $x\in \mathbb{R}$ によらない。また $\mathrm{mod}1$ はとらない）。

$-\frac{1}{2}\le \omega \le \frac{1}{2}$ の範囲で、$\rho (F_{\omega })=0$ となる $\omega$ の値の範囲を求めよ。

$a=\frac{1}{\sqrt{3}}$ とし、複素平面の単位円周 $\mathbb{T}=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$ 上の写像 $f:\mathbb{T}\to \mathbb{T}$ を
$$f(z)=i\frac{z+a}{1+az}$$
で定める。$S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ と $\mathbb{T}$ を $x\mathrm{mod}1\mapsto e^{2\pi ix}$ で同一視すると、$f$ は向きを保つ $S^1$ の同相写像になる。$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を $f$ の持ち上げ（連続で $e^{2\pi iF(x)}=f(e^{2\pi ix})$ をみたすもの）とし、$f$ の回転数を
$$\rho (f)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{F^n(x)-x}{n}\mathrm{mod}1\in [0,1)$$
で定める（この値は $x$ と持ち上げの選び方によらない）。$\rho (f)$ を求めよ。

写像 $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\frac{x^2-1}{2x}$$
で定める。$\mathbb{R}$ 上の確率測度 $\mu$ を
$$\mu (dx)=\frac{dx}{\pi (1+x^2)}$$
で定めると、$\mu$ は $f$ 不変かつエルゴード的であることが知られている（このことは証明なしに用いてよい）。ルベーグ測度に関してほとんどすべての実数 $x$ について、すべての $n\ge 0$ で $f^n(x)\ne 0$ であり、極限
$$\lambda =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x)\right|$$
が存在して $x$ によらない一定値をとる。この値 $\lambda$ を求めよ。

$a<b$, $c<d$ を実数とし、$I=[a,b]$, $J=[c,d]$ とおく（どちらも長さが正の有界閉区間）。$f:I\to I$, $g:J\to J$ を $C^1$ 級写像とする（区間の端点では片側微分を考える）。$h:I\to J$ は $C^1$ 級写像で、すべての $x\in I$ に対して $h^{\prime }(x)\ne 0$ であり、
$$h\circ f=g\circ h$$
を満たすとする。長さが正の有界閉区間 $K$ 上の $C^1$ 級写像 $\phi :K\to K$ と $x\in K$ に対し、$x$ における $\phi$ のリャプノフ指数を
$${\lambda }_{\phi }(x)=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{n}\log \left|({\phi }^n{)}^{\prime }(x)\right|\in [-\infty ,\infty ]$$
で定める。ただし $n$ は正の整数、${\phi }^n$ は $\phi$ の $n$ 回合成で、$\log 0=-\infty$ と約束する。

すべての $x\in I$ に対して ${\lambda }_g(h(x))={\lambda }_f(x)$ が成り立つことを証明せよ。

区間 $[0,1]$ 上の写像 $f:[0,1]\to [0,1]$ を
$$f(x)=4x(1-x)$$
で定める。$f$ はルベーグ測度に関して絶対連続な $f$ 不変確率測度 $\mu$ をただ 1 つもち、$\mu$ に関してエルゴード的であり、$\mu$ とルベーグ測度は $[0,1]$ 上で互いに絶対連続であることが知られている。

このとき、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in [0,1]$ について存在する極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{\left(f^k(x)\right)}^3$$
の値を求めよ。ただし $f^0$ は恒等写像、$f^k$ は $f$ の $k$ 回合成である。