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力学系・エルゴード理論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル証明問題大学院数学力学系・エルゴード理論

$a < b$ , $c < d$ を実数とし、 $I = [a, b]$ , $J = [c, d]$ とおく（どちらも長さが正の有界閉区間）。 $f : I \to I$ , $g : J \to J$ を $C^{1}$ 級写像とする（区間の端点では片側微分を考える）。 $h : I \to J$ は $C^{1}$ 級写像で、すべての $x \in I$ に対して $h^{'} (x) \neq = 0$ であり、
$h \circ f = g \circ h$
を満たすとする。長さが正の有界閉区間 $K$ 上の $C^{1}$ 級写像 $φ : K \to K$ と $x \in K$ に対し、 $x$ における $φ$ のリャプノフ指数を
$λ_{φ} (x) = n \to \infty lim sup \frac{1}{n} lo g ∣ (φ^{n})^{'} (x) ∣ \in [- \infty, \infty]$
で定める。ただし $n$ は正の整数、 $φ^{n}$ は $φ$ の $n$ 回合成で、 $lo g 0 = - \infty$ と約束する。

すべての $x \in I$ に対して $λ_{g} (h (x)) = λ_{f} (x)$ が成り立つことを証明せよ。

この問題で使うもの

リャプノフ指数（説明と入口の問題）
合成関数の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（82 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

共役関係 $h \circ f = g \circ h$ を $n$ 回の合成に拡張し、両辺を微分して $(g^{n})^{'} (h (x))$ と $(f^{n})^{'} (x)$ の関係式を作りましょう。

ヒント 2

連鎖律から $(g^{n})^{'} (h (x)) h^{'} (x) = h^{'} (f^{n} (x)) (f^{n})^{'} (x)$ が得られます。 $h^{'}$ は有界閉区間上で連続かつ $0$ にならないので、 $∣ h^{'} ∣$ は正の定数で上下から抑えられます。

ヒント 3

対数をとると $lo g ∣ (g^{n})^{'} (h (x)) ∣$ と $lo g ∣ (f^{n})^{'} (x) ∣$ の差は $n$ によらない定数で抑えられます。 $n$ で割ったときに差が $0$ に近づくことと、ある $n$ で $(f^{n})^{'} (x) = 0$ となる場合の扱いを考えましょう。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

帰納法により $h \circ f^{n} = g^{n} \circ h$ を導いている（2 点）
連鎖律で $(g^{n})^{'} (h (x)) h^{'} (x) = h^{'} (f^{n} (x)) (f^{n})^{'} (x)$ を得て、 $h^{'} (x) \neq = 0$ で割っている（2 点）
$h^{'}$ の連続性・非零性と $I$ が有界閉区間であること（最大値・最小値の定理）から $0 < m \leq ∣ h^{'} ∣ \leq M$ を示し、比 $∣ h^{'} (f^{n} (x)) / h^{'} (x) ∣$ を $n$ によらず評価している（3 点）
$\frac{1}{n} lo g ∣ \cdot ∣$ の差が $C / n$ で抑えられることから、 $\pm \infty$ の場合も含めて上極限が一致することを両向きの不等式で確かめている（2 点）
ある $n$ で $(f^{n})^{'} (x) = 0$ となる場合に、以後のすべての $n$ で両辺がともに $- \infty$ になることを扱っている（1 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

Step 1: $h \circ f^{n} = g^{n} \circ h$ 。 正の整数 $n$ についての帰納法で示す。 $n = 1$ のときは仮定そのものである。ある $n$ で $h \circ f^{n} = g^{n} \circ h$ が成り立つと仮定すると
$h \circ f^{n + 1} = (h \circ f) \circ f^{n} = (g \circ h) \circ f^{n} = g \circ (h \circ f^{n}) = g \circ (g^{n} \circ h) = g^{n + 1} \circ h$
となり、 $n + 1$ でも成り立つ。

Step 2: 微分の関係式。 $I, J$ は長さが正の区間なので各点で（端点では片側の）微分が意味をもつ。区間上の $C^{1}$ 級写像の合成は $C^{1}$ 級であり、連鎖律は端点での片側微分についても成り立つ（内側の写像の値は区間内にとどまるので、外側の写像の区間上での微分可能性だけで連鎖律の証明がそのまま通る）。よって $f^{n}$ , $g^{n}$ は $C^{1}$ 級で、Step 1 の両辺を $x \in I$ で微分すると
$h^{'} (f^{n} (x)) (f^{n})^{'} (x) = (g^{n})^{'} (h (x)) h^{'} (x) . (1)$
仮定より $h^{'} (x) \neq = 0$ なので
$(g^{n})^{'} (h (x)) = \frac{h ^{'} ( f ^{n} ( x ))}{h ^{'} ( x )} (f^{n})^{'} (x) . (2)$

Step 3: $∣ h^{'} ∣$ の上下からの評価。 $h^{'}$ は有界閉区間 $I$ 上の連続関数で零点をもたないので、 $∣ h^{'} ∣$ も $I$ 上で連続で正の値をとる。最大値・最小値の定理より、ある定数 $0 < m \leq M < \infty$ があって、すべての $y \in I$ で $m \leq ∣ h^{'} (y) ∣ \leq M$ となる。 $f^{n} (x) \in I$ だから
$\frac{m}{M} \leq \frac{h ^{'} ( f ^{n} ( x ))}{h ^{'} ( x )} \leq \frac{M}{m} .$
$C = lo g (M / m) \geq 0$ とおく。

Step 4: 場合分け。 $x \in I$ を固定する。

(i) ある正の整数 $n_{0}$ で $(f^{n_{0}})^{'} (x) = 0$ となる場合。 $n > n_{0}$ に対し、 $f^{n} = f^{n - n_{0}} \circ f^{n_{0}}$ と連鎖律より $(f^{n})^{'} (x) = (f^{n - n_{0}})^{'} (f^{n_{0}} (x)) (f^{n_{0}})^{'} (x) = 0$ である。よって $n \geq n_{0}$ で $(f^{n})^{'} (x) = 0$ 、さらに $(2)$ より $n \geq n_{0}$ で $(g^{n})^{'} (h (x)) = 0$ でもある。したがって $n \geq n_{0}$ のとき $\frac{1}{n} lo g ∣ (f^{n})^{'} (x) ∣$ と $\frac{1}{n} lo g ∣ (g^{n})^{'} (h (x)) ∣$ はともに $- \infty$ である。上極限は有限個の項によらないので $λ_{f} (x) = λ_{g} (h (x)) = - \infty$ 。

(ii) すべての正の整数 $n$ で $(f^{n})^{'} (x) \neq = 0$ の場合。 $(2)$ と Step 3（比の絶対値が $m / M > 0$ 以上）より $(g^{n})^{'} (h (x)) \neq = 0$ であり、 $(2)$ の絶対値の対数をとると
$lo g ∣ (g^{n})^{'} (h (x)) ∣ = lo g ∣ (f^{n})^{'} (x) ∣ + lo g \frac{h ^{'} ( f ^{n} ( x ))}{h ^{'} ( x )}$
で、右辺第 2 項の絶対値は Step 3 より $C$ 以下である。 $a_{n} = \frac{1}{n} lo g ∣ (f^{n})^{'} (x) ∣$ , $b_{n} = \frac{1}{n} lo g ∣ (g^{n})^{'} (h (x)) ∣$ とおくと、これらは実数で
$a_{n} - \frac{C}{n} \leq b_{n} \leq a_{n} + \frac{C}{n} .$
任意の $ε > 0$ に対し、 $n > C / ε$ ならば $b_{n} \leq a_{n} + ε$ である。数列の有限個の項を除いても上極限は変わらないので $lim sup b_{n} \leq lim sup a_{n} + ε$ （ $lim sup a_{n} = \pm \infty$ の場合も $\pm \infty + ε = \pm \infty$ として成り立つ）。 $ε \to 0$ として $lim sup b_{n} \leq lim sup a_{n}$ 。また $a_{n} \leq b_{n} + \frac{C}{n}$ でもあるので、 $a_{n}$ と $b_{n}$ の役割を入れ替えた同じ議論により $lim sup a_{n} \leq lim sup b_{n}$ が得られる。したがって $λ_{g} (h (x)) = lim sup b_{n} = lim sup a_{n} = λ_{f} (x)$ 。

(i), (ii) で場合は尽くされているので、すべての $x \in I$ に対して $λ_{g} (h (x)) = λ_{f} (x)$ が成り立つ。 $■$

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