力学系・エルゴード理論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学力学系・エルゴード理論

正方形 $X = [0, 1)^{2}$ 上の写像 $B : X \to X$ （非対称なパイこね変換）を
$B (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ (3 x, \frac{y}{3}) (\frac{3 x - 1}{2}, \frac{1}{3} + \frac{2 y}{3}) (0 \leq x < \frac{1}{3}) (\frac{1}{3} \leq x < 1)$
で定める。 $B$ は $X$ 上のルベーグ測度 $m$ を保ち、 $m$ に関してエルゴード的であることが知られている（これは証明せずに用いてよい）。

$m$ に関してほとんどすべての点 $p \in X$ において、リャプノフ指数
$λ (p, v) = n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g ∥ D B^{n} (p) v ∥ (v \in R^{2}, v \neq = 0)$
がとりうる値は、 $p$ によらない有限集合になる。ただし $D B^{n} (p)$ は $B^{n}$ の点 $p$ におけるヤコビ行列で、 $B^{n}$ の軌道が $x = \frac{1}{3}$ の直線上の点を通らない点 $p$ について考える。また $∥ \cdot ∥$ はユークリッドノルムとする。この集合を求めよ。

この問題で使うもの

リャプノフ指数（説明と入口の問題）
バーコフのエルゴード定理と時間平均（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（82 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ヤコビ行列が各領域で対角行列であることに注目し、 $D B^{n} (p)$ を対角成分の積として書き表しましょう。

ヒント 2

対角成分の対数の時間平均は、バーコフのエルゴード定理により空間平均 $\int lo g α d m$ に収束します。 $x < \frac{1}{3}$ の領域の面積は $\frac{1}{3}$ です。

ヒント 3

水平方向の指数は $\frac{1}{3} lo g 3 + \frac{2}{3} lo g \frac{3}{2}$ です。鉛直方向はその逆数の積になることを使いましょう。

答えと解説

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{lo g 3 - \frac{2}{3} lo g 2, - lo g 3 + \frac{2}{3} lo g 2}

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解説を読む

ヤコビ行列
$0 \leq x < \frac{1}{3}$ では $D B = (30 0 \frac{1}{3})$ 、 $\frac{1}{3} \leq x < 1$ では $D B = (\frac{3}{2} 0 0 \frac{2}{3})$ であり、どちらも対角行列である。

点 $p$ の軌道を $p_{k} = B^{k} (p) = (x_{k}, y_{k})$ とし、 $α (x) = 3 (x < \frac{1}{3})$ 、 $α (x) = \frac{3}{2} (x \geq \frac{1}{3})$ とおくと、 $D B (p_{k}) = diag (α (x_{k}), α (x_{k})^{- 1})$ である（ $\frac{1}{3} = 3^{- 1}$ , $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{- 1}$ ）。連鎖律より
$D B^{n} (p) = D B (p_{n - 1}) \dots D B (p_{0}) = diag (k = 0 \prod n - 1 α (x_{k}), k = 0 \prod n - 1 α (x_{k})^{- 1}) .$

バーコフのエルゴード定理
$φ (x, y) = lo g α (x)$ は有界可測関数で、 $B$ は $m$ を保ちエルゴード的なので、 $m$ -a.e. の $p$ で
$\frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 lo g α (x_{k}) \to \int_{X} φ d m = \frac{1}{3} lo g 3 + \frac{2}{3} lo g \frac{3}{2} = lo g 3 - \frac{2}{3} lo g 2 =: λ_{1} .$
（ $\frac{1}{3} lo g 3 + \frac{2}{3} (lo g 3 - lo g 2) = lo g 3 - \frac{2}{3} lo g 2$ 。）

各方向の指数
$v = (v_{1}, v_{2}) \neq = 0$ に対して $D B^{n} (p) v = (e^{n S_{n}} v_{1}, e^{- n S_{n}} v_{2})$ （ $S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k < n} lo g α (x_{k}) \to λ_{1} > 0$ ）なので、
- $v_{1} \neq = 0$ のとき、第 1 成分が支配的で $λ (p, v) = λ_{1}$
- $v_{1} = 0$ （ $v_{2} \neq = 0$ ）のとき、 $λ (p, v) = - λ_{1}$

となる。 $λ_{1} \approx 1.0986 - 0.4621 = 0.6365 > 0$ なので両者は異なる。

よって求める集合は
${lo g 3 - \frac{2}{3} lo g 2, - lo g 3 + \frac{2}{3} lo g 2} .$
（ $B$ は面積を保つので 2 つの指数の和が $0$ になることとも整合する。）

別解

軌道が $x = 1/3$ を通らない点では $B$ は微分可能で、ヤコビ行列は対角行列である。
- $0 \leq x < 1/3$ （測度 $1/3$ ）: $D B = diag (3, 1/3)$
- $1/3 \leq x < 1$ （測度 $2/3$ ）: $D B = diag (3/2, 2/3)$

連鎖律より $D B^{n} (p) = diag (a_{n}, b_{n})$ （ $a_{n}, b_{n}$ は各ステップの対角成分の積）で、 $v = (v_{1}, v_{2})$ に対し $∥ D B^{n} (p) v ∥^{2} = a_{n}^{2} v_{1}^{2} + b_{n}^{2} v_{2}^{2}$ 。

$B$ は $m$ を保ちエルゴード的なので、Birkhoff の個別エルゴード定理より、ほとんどすべての $p$ で
$\frac{1}{n} lo g a_{n} \to \int lo g ∣ \partial_{x} B_{1} ∣ d m = \frac{1}{3} lo g 3 + \frac{2}{3} lo g \frac{3}{2} = lo g 3 - \frac{2}{3} lo g 2 =: λ_{+}$ 、
$\frac{1}{n} lo g b_{n} \to \frac{1}{3} lo g \frac{1}{3} + \frac{2}{3} lo g \frac{2}{3} = - lo g 3 + \frac{2}{3} lo g 2 = - λ_{+}$ 。

$λ_{+} = lo g \frac{3}{2 ^{2/3}} \approx 1.0986 - 0.4621 = 0.6365 > 0$ 。

$v_{1} \neq = 0$ のとき $∥ D B^{n} v ∥ \geq a_{n} ∣ v_{1} ∣$ かつ $∥ D B^{n} v ∥ \leq a_{n} ∣ v_{1} ∣ + b_{n} ∣ v_{2} ∣$ で $b_{n} / a_{n} \to 0$ （指数的）なので $λ (p, v) = λ_{+}$ 。
$v_{1} = 0$ （ $v$ が $y$ 軸方向）のとき $∥ D B^{n} v ∥ = b_{n} ∣ v_{2} ∣$ なので $λ (p, v) = - λ_{+}$ 。

検算: 2 つの値の和は $0$ で、 $B$ は面積を保つ（ $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ , $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$ ）ことと整合する。

よって求める集合は ${lo g 3 - \frac{2}{3} lo g 2, - lo g 3 + \frac{2}{3} lo g 2}$ 。

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