力学系・エルゴード理論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学力学系・エルゴード理論

区間 $X = [0, 1)$ 上の写像 $f : X \to X$ を
$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x x + \frac{1}{3} 2 x - \frac{4}{3} (0 \leq x < \frac{1}{3}) (\frac{1}{3} \leq x < \frac{2}{3}) (\frac{2}{3} \leq x < 1)$
で定める。 $f$ はルベーグ測度に関して絶対連続な $f$ 不変確率測度 $μ$ をただ 1 つもち、その密度は 3 つの区間 $[0, \frac{1}{3}), [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}), [\frac{2}{3}, 1)$ のそれぞれの上で定数である。また $μ$ はエルゴード的で、その密度は $X$ 上で正である。

このとき、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x \in X$ に対して極限
$λ (x) = n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g ∣ (f^{n})^{'} (x) ∣$
が存在し、 $x$ によらない定数 $λ$ に等しい。 $λ$ を求めよ。ただし $lo g$ は自然対数とする。

この問題で使うもの

リャプノフ指数（説明と入口の問題）
不変測度と不変密度（説明と入口の問題）
バーコフのエルゴード定理と時間平均（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（82 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

リャプノフ指数は時間平均 $\frac{1}{n} \sum_{k < n} lo g ∣ f^{'} (f^{k} x) ∣$ なので、エルゴード定理で空間平均 $\int lo g ∣ f^{'} ∣ d μ$ に置き換えられます。まず不変測度 $μ$ を求めましょう。

ヒント 2

密度 $h$ が不変である条件は $h (y) = \sum_{f (x) = y} h (x) /∣ f^{'} (x) ∣$ です。各区間上の定数 $h_{1}, h_{2}, h_{3}$ について連立方程式を立てます。

ヒント 3

各区間の像は $f (I_{1}) = [0, 1)$ 、 $f (I_{2}) = I_{3}$ 、 $f (I_{3}) = I_{1} \cup I_{2}$ です。連立方程式から $h_{1} = h_{2}$ 、 $h_{3} = \frac{4}{3} h_{1}$ が得られます。

答えと解説

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\frac{3 lo g 3 + 4 lo g 2}{10}

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解説を読む

$I_{1} = [0, \frac{1}{3}), I_{2} = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}), I_{3} = [\frac{2}{3}, 1)$ とおく。

1. 各区間の像. $f (I_{1}) = [0, 1)$ （傾き $3$ ）、 $f (I_{2}) = I_{3}$ （傾き $1$ ）、 $f (I_{3}) = [0, \frac{2}{3}) = I_{1} \cup I_{2}$ （傾き $2$ ）である。

2. 不変密度. $μ$ の密度を $I_{j}$ 上で $h_{j}$ とする。 $μ$ が不変であることは、ペロン・フロベニウス作用素について
$h (y) = f (x) = y \sum \frac{h ( x )}{∣ f ^{'} ( x ) ∣}$
が成り立つことと同値である。 $y$ の逆像を数えると
- $y \in I_{1}$ : 逆像は $y /3 \in I_{1}$ と $(y + \frac{4}{3}) /2 \in I_{3}$ なので $h_{1} = \frac{h _{1}}{3} + \frac{h _{3}}{2}$
- $y \in I_{2}$ : 逆像は $y /3 \in I_{1}$ と $(y + \frac{4}{3}) /2 \in I_{3}$ なので $h_{2} = \frac{h _{1}}{3} + \frac{h _{3}}{2}$
- $y \in I_{3}$ : 逆像は $y /3 \in I_{1}$ と $y - \frac{1}{3} \in I_{2}$ なので $h_{3} = \frac{h _{1}}{3} + h_{2}$

1 つ目と 2 つ目から $h_{1} = h_{2}$ 、1 つ目から $h_{3} = \frac{4}{3} h_{1}$ （3 つ目もこれで成り立つ）。正規化 $\frac{1}{3} (h_{1} + h_{2} + h_{3}) = 1$ より $\frac{1}{3} \cdot \frac{10}{3} h_{1} = 1$ 、 $h_{1} = \frac{9}{10}$ 。よって
$h_{1} = h_{2} = \frac{9}{10}, h_{3} = \frac{6}{5}, μ (I_{1}) = μ (I_{2}) = \frac{3}{10}, μ (I_{3}) = \frac{2}{5} .$

3. リャプノフ指数. 連鎖律より、軌道が有限個の分点に落ちない限り
$\frac{1}{n} lo g ∣ (f^{n})^{'} (x) ∣ = \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 lo g ∣ f^{'} (f^{k} x) ∣.$
$lo g ∣ f^{'} ∣$ は有界なので $μ$ 可積分であり、 $μ$ がエルゴード的だからバーコフのエルゴード定理により $μ$ -a.e. $x$ でこれは $\int lo g ∣ f^{'} ∣ d μ$ に収束する。密度が正なので $μ$ とルベーグ測度は互いに絶対連続で、ルベーグ測度についてもほとんどすべての $x$ で同じ極限になる。したがって
$λ = \int_{X} lo g ∣ f^{'} ∣ d μ = \frac{3}{10} lo g 3 + \frac{3}{10} lo g 1 + \frac{2}{5} lo g 2 = \frac{3 lo g 3 + 4 lo g 2}{10} (= \frac{lo g 432}{10} \approx 0.607) .$

別解

$I_{1} = [0, \frac{1}{3})$ , $I_{2} = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ , $I_{3} = [\frac{2}{3}, 1)$ とおく。 $f^{'} = 3, 1, 2$ （それぞれ $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 上）。\n\n不変密度を $I_{k}$ 上で定数 $d_{k}$ とおく。フロベニウス・ペロン作用素の不動点条件 $d (y) = \sum_{f (x) = y} d (x) /∣ f^{'} (x) ∣$ を考える。像は $f (I_{1}) = [0, 1)$ 、 $f (I_{2}) = I_{3}$ 、 $f (I_{3}) = I_{1} \cup I_{2}$ 。\n- $y \in I_{1}$ : 原像は $I_{1}$ と $I_{3}$ の点 → $d_{1} = \frac{d _{1}}{3} + \frac{d _{3}}{2}$ \n- $y \in I_{2}$ : 原像は $I_{1}$ と $I_{3}$ の点 → $d_{2} = \frac{d _{1}}{3} + \frac{d _{3}}{2}$ \n- $y \in I_{3}$ : 原像は $I_{1}$ と $I_{2}$ の点 → $d_{3} = \frac{d _{1}}{3} + d_{2}$ \n\nこれより $d_{1} = d_{2}$ 、 $d_{3} = \frac{4}{3} d_{1}$ （第 1 式: $\frac{2}{3} d_{1} = \frac{d _{3}}{2}$ からも同じ）。正規化 $\frac{1}{3} (d_{1} + d_{2} + d_{3}) = 1$ より $\frac{1}{3} \cdot \frac{10}{3} d_{1} = 1$ 、 $d_{1} = d_{2} = \frac{9}{10}$ 、 $d_{3} = \frac{6}{5}$ 。\nしたがって $μ (I_{1}) = \frac{3}{10}$ 、 $μ (I_{2}) = \frac{3}{10}$ 、 $μ (I_{3}) = \frac{2}{5}$ 。\n\n $μ$ はエルゴード的でルベーグ測度と互いに絶対連続（密度が正）なので、ビルコフの定理より、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x$ で\n $\frac{1}{n} lo g ∣ (f^{n})^{'} (x) ∣ = \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 lo g ∣ f^{'} (f^{k} x) ∣ \to \int lo g ∣ f^{'} ∣ d μ .$ \nよって\n $λ = \frac{3}{10} lo g 3 + \frac{3}{10} lo g 1 + \frac{2}{5} lo g 2 = \frac{3}{10} lo g 3 + \frac{2}{5} lo g 2.$ \n\n検算: $μ (f^{- 1} I_{3}) = μ ([\frac{2}{9}, \frac{1}{3})) + μ (I_{2}) = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} + \frac{3}{10} = \frac{2}{5} = μ (I_{3})$ で不変性が確認できる。数値は $0.3 \times 1.0986 + 0.4 \times 0.6931 \approx 0.3296 + 0.2773 = 0.607$ 。

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