力学系・エルゴード理論の問題

不変密度を求める. $I_1=[0,\frac{1}{2})$, $I_2=[\frac{1}{2},1]$ とおく。$T$ は $I_1$ を傾き $1$ で $[\frac{1}{2},1)$ に、$I_2$ を傾き $2$ で $[0,1]$ に写すので、$\{I_1,I_2\}$ はマルコフ分割である。そこで不変密度を $h=a$ ($I_1$ 上), $h=b$ ($I_2$ 上) の区分的定数と予想する。転送作用素（ペロン–フロベニウス作用素）
$$(Ph)(y)=\sum _{T(x)=y}\frac{h(x)}{|T^{\prime }(x)|}$$
について $Ph=h$ となる条件を調べる。

• $y\in I_1$ のとき：逆像は $I_2$ の点 $x=\frac{y+1}{2}$ だけなので $(Ph)(y)=\frac{b}{2}$。
• $y\in I_2$ のとき：逆像は $I_1$ の点 $x=y-\frac{1}{2}$（傾き $1$）と $I_2$ の点 $x=\frac{y+1}{2}$（傾き $2$）なので $(Ph)(y)=a+\frac{b}{2}$。

よって $a=\frac{b}{2},b=a+\frac{b}{2}$ となり、どちらも $b=2a$ と同値である。正規化 $\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=1$ より $\frac{3a}{2}=1$、すなわち $a=\frac{2}{3},b=\frac{4}{3}$ である。$Ph=h$ はすべての可測集合 $A$ に対して $\mu (T^{-1}A)=\mu (A)$ が成り立つことと同値なので、$d\mu =hdx$ は絶対連続な不変確率測度である。一意性（仮定）より、これが問題の $\mu$ である。

バーコフのエルゴード定理の適用. $g(x)=xT(x)$ とおくと、$x_k{x}_{k+1}=g(x_k)=g(T^k{x}_0)$ である。$g$ は有界可測なので $g\in L^1(\mu )$ である。$\mu$ はエルゴード的なので、バーコフのエルゴード定理より、$\mu$-a.e. の $x_0$ に対して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}g(T^k{x}_0)={\int }_0^{1}gd\mu$$
が成り立つ。密度 $h$ は正なので、$\mu$-零集合とルベーグ零集合は一致し、上の等式はルベーグ測度に関してほとんどすべての $x_0$ で成り立つ。

空間平均の計算.
$I_1$ 上では
$${\int }_0^{1/2}x\left(x+\frac{1}{2}\right)dx={\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{4}\right]}_0^{1/2}=\frac{1}{24}+\frac{1}{16}=\frac{5}{48}$$
なので、密度 $\frac{2}{3}$ を掛けて $\frac{10}{144}=\frac{5}{72}$ となる。

$I_2$ 上では
$${\int }_{1/2}^{1}x(2x-1)dx={\left[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]}_{1/2}^1=\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{5}{24}$$
なので、密度 $\frac{4}{3}$ を掛けて $\frac{20}{72}$ となる。

したがって
$${\int }_0^{1}gd\mu =\frac{5}{72}+\frac{20}{72}=\frac{25}{72}.$$

よって求める極限は $\frac{25}{72}$ である。

まず不変密度を求める。Perron–Frobenius 方程式を考える。
$y\in [0,1/2)$ の逆像は $x=(y+1)/2$ だけ（傾き 2）なので、$h(y)=h((y+1)/2)/2$。
$y\in [1/2,1)$ の逆像は $y-1/2$（傾き 1）と $(y+1)/2$（傾き 2）なので、$h(y)=h(y-1/2)+h((y+1)/2)/2$。

$h$ が $[0,1/2)$ で $a$、$[1/2,1]$ で $b$ の階段関数だとすると、$a=b/2$ かつ $b=a+b/2$ となり、どちらも $b=2a$ と同値で矛盾しない。
規格化 $a/2+b/2=1$ より $a=2/3,b=4/3$。
密度が正でただ一つという仮定から、これが不変密度 $h$ である。

エルゴード定理より、ほとんどすべての $x_0$ について極限は ${\int }_0^{1}xT(x)h(x)dx$ に等しい。

$[0,1/2)$ 上の寄与：
$\frac{2}{3}{\int }_0^{1/2}x\left(x+\frac{1}{2}\right)dx=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{24}+\frac{1}{16}\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{48}=\frac{5}{72}$。

$[1/2,1]$ 上の寄与：
$\frac{4}{3}{\int }_{1/2}^1(2x^2-x)dx=\frac{4}{3}\left(\frac{7}{12}-\frac{3}{8}\right)=\frac{4}{3}\cdot \frac{5}{24}=\frac{5}{18}=\frac{20}{72}$。

合計は $\frac{5}{72}+\frac{20}{72}=\frac{25}{72}$。

検算：$h$ の全積分は $\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}=1$ で正しい。不変性も上の 2 式で確認済み。