力学系・エルゴード理論の問題

区間 $[0,1)$ 上のガウス写像 $G:[0,1)\to [0,1)$ を
$$G(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}-\lfloor \frac{1}{x}\rfloor & (0<x<1)\\ 0& (x=0)\end{array}$$
で定める。ここで $\lfloor y\rfloor$ は $y$ 以下の最大の整数である。$[0,1)$ 上の確率測度 $\mu$（ガウス測度）を
$$d\mu =\frac{1}{\log 2}\cdot \frac{dx}{1+x}$$
で定めると、$\mu$ は $G$ 不変であり、$G$ は $\mu$ に関してエルゴード的であることが知られている。

ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in [0,1)$ に対して極限
$$L=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{G}^n(x)$$
が存在して $x$ によらない値をとる。$L$ を求めよ。ここで $G^n$ は $G$ の $n$ 回合成（$G^0$ は恒等写像）である。

区間 $[0,1)$ 上の倍角写像 $f(x)=2x\mathrm{mod}1$ を考える。ルベーグ測度 $\lambda$（$[0,1)$ 上の一様な確率測度）は $f$ の不変確率測度であり、$f$ は $\lambda$ に関してエルゴード的である。関数 $\phi (x)=x^2+x$ に対し、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in [0,1)$ で存在する極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\phi (f^{k}x)$$
の値を求めよ。

写像 $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\frac{x^2-1}{2x}$$
で定める。$\mathbb{R}$ 上の確率測度 $\mu$ を
$$\mu (dx)=\frac{dx}{\pi (1+x^2)}$$
で定めると、$\mu$ は $f$ 不変かつエルゴード的であることが知られている（このことは証明なしに用いてよい）。ルベーグ測度に関してほとんどすべての実数 $x$ について、すべての $n\ge 0$ で $f^n(x)\ne 0$ であり、極限
$$\lambda =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x)\right|$$
が存在して $x$ によらない一定値をとる。この値 $\lambda$ を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の写像 $f:[0,1]\to [0,1]$ を
$$f(x)=4x(1-x)$$
で定める。$f$ はルベーグ測度に関して絶対連続な $f$ 不変確率測度 $\mu$ をただ 1 つもち、$\mu$ に関してエルゴード的であり、$\mu$ とルベーグ測度は $[0,1]$ 上で互いに絶対連続であることが知られている。

このとき、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in [0,1]$ について存在する極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{\left(f^k(x)\right)}^3$$
の値を求めよ。ただし $f^0$ は恒等写像、$f^k$ は $f$ の $k$ 回合成である。

閉区間 $[0,1]$ 上の写像 $T:[0,1]\to [0,1]$ を
$$T(x)=\{\begin{array}{ll}x+\frac{1}{2}& \left(0\le x<\frac{1}{2}\right)\\ 2x-1& \left(\frac{1}{2}\le x\le 1\right)\end{array}$$
で定める。$x_0\in [0,1]$ に対して $x_{k+1}=T(x_k)$ $(k=0,1,2,\dots )$ とおく。

$T$ はルベーグ測度に絶対連続な不変確率測度 $\mu$ をただ一つもち、$\mu$ に関してエルゴード的で、その密度は $[0,1]$ 上で正であることを認めてよい。このとき、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x_0\in [0,1]$ に対して存在する極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{x}_k{x}_{k+1}$$
の値を求めよ。