力学系・エルゴード理論の問題

区間 $X=(0,1)$ 上のガウス写像 $G:X\to [0,1)$ を $$G(x)=\frac{1}{x}-\lfloor \frac{1}{x}\rfloor$$ で定める（$\lfloor t\rfloor$ は $t$ 以下の最大の整数）。$G^k(x)$ が $0$ になる点 $x$（有理数）は除いて考える。$X$ 上の確率測度 $$\mu (dx)=\frac{1}{\log 2}\cdot \frac{dx}{1+x}$$ は $G$ 不変であり、$G$ は $\mu$ に関してエルゴード的であることが知られている。関数 $\phi (x)=x(1-x)$ について、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in X$ で存在する極限 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\phi (G^k(x))$$ の値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の写像 $f:[0,1]\to [0,1]$ を
$$f(x)=4x(1-x)$$
で定める。$f$ はルベーグ測度に関して絶対連続な $f$ 不変確率測度 $\mu$ をただ 1 つもち、$\mu$ に関してエルゴード的であり、$\mu$ とルベーグ測度は $[0,1]$ 上で互いに絶対連続であることが知られている。

このとき、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in [0,1]$ について存在する極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{\left(f^k(x)\right)}^3$$
の値を求めよ。ただし $f^0$ は恒等写像、$f^k$ は $f$ の $k$ 回合成である。

閉区間 $[0,1]$ 上の写像 $T:[0,1]\to [0,1]$ を
$$T(x)=\{\begin{array}{ll}x+\frac{1}{2}& \left(0\le x<\frac{1}{2}\right)\\ 2x-1& \left(\frac{1}{2}\le x\le 1\right)\end{array}$$
で定める。$x_0\in [0,1]$ に対して $x_{k+1}=T(x_k)$ $(k=0,1,2,\dots )$ とおく。

$T$ はルベーグ測度に絶対連続な不変確率測度 $\mu$ をただ一つもち、$\mu$ に関してエルゴード的で、その密度は $[0,1]$ 上で正であることを認めてよい。このとき、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x_0\in [0,1]$ に対して存在する極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{x}_k{x}_{k+1}$$
の値を求めよ。

写像 $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\frac{x^2-1}{2x}$$
で定める。$\mathbb{R}$ 上の確率測度 $\mu$ を
$$\mu (dx)=\frac{dx}{\pi (1+x^2)}$$
で定めると、$\mu$ は $f$ 不変かつエルゴード的であることが知られている（このことは証明なしに用いてよい）。ルベーグ測度に関してほとんどすべての実数 $x$ について、すべての $n\ge 0$ で $f^n(x)\ne 0$ であり、極限
$$\lambda =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x)\right|$$
が存在して $x$ によらない一定値をとる。この値 $\lambda$ を求めよ。

写像 $f:[0,1]\to [0,1]$, $f(x)=4x(1-x)$ を考える。点 $p=\frac{5+\sqrt{5}}{8}$ は $f$ の最小周期 $2$ の周期点である。$p$ におけるリャプノフ指数
$$\lambda (p)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(p)\right|$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。