力学系・エルゴード理論の問題

1. $f$ は単位円板の自己同型である。 $a$ は実数なので、$|z|=1$ のとき $|1+az|=|\bar{z}||1+az|=|\bar{z}+a|=|z+a|$ となり、$|f(z)|=1$ である。また $f$ は $\overline{\mathbb{D}}$（閉単位円板）の近傍で正則なメビウス変換で、$f(0)=ia$ は $|ia|<1$ をみたす。したがって $f$ は単位円板 $\mathbb{D}$ の正則な自己同型であり、境界 $\mathbb{T}$ 上では向きを保つ同相写像になる。

2. $\mathbb{D}$ 内の不動点を求める。 $f(z)=z$ は $z(1+az)=i(z+a)$、すなわち
$$a{z}^2+(1-i)z-ia=0$$
と同値である。判別式は
$$(1-i{)}^2+4a^{2}i=-2i+\frac{4}{3}i=-\frac{2}{3}i$$
である。その平方根の一つは $\frac{1-i}{\sqrt{3}}$ であり、実際 ${\left(\frac{1-i}{\sqrt{3}}\right)}^2=-\frac{2i}{3}$ となる。よって
$$z=\frac{-(1-i)\pm \frac{1-i}{\sqrt{3}}}{2/\sqrt{3}}=\frac{(1-i)(-\sqrt{3}\pm 1)}{2}$$
である。$+$ の方の $z_0=\frac{(1-i)(1-\sqrt{3})}{2}$ は $|z_0|=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2}\approx 0.52<1$ なので、$\mathbb{D}$ 内にある。

3. 不動点での微分係数を計算する。
$$f^{\prime }(z)=i\frac{(1+az)-a(z+a)}{(1+az{)}^2}=\frac{i(1-a^2)}{(1+az{)}^2},1-a^2=\frac{2}{3}$$
である。$a{z}_0=\frac{(1-i)(1-\sqrt{3})}{2\sqrt{3}}=\frac{(1-i)(\sqrt{3}-3)}{6}$ より、
$$1+a{z}_0=\frac{3+\sqrt{3}}{6}+\frac{3-\sqrt{3}}{6}i$$
となる。これを 2 乗すると
$$(1+a{z}_0{)}^2=\frac{(3+\sqrt{3}{)}^2-(3-\sqrt{3}{)}^2}{36}+\frac{2(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{36}i=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}i=\frac{2}{3}{e}^{i\pi /6}$$
である。よって
$$f^{\prime }(z_0)=\frac{\frac{2}{3}i}{\frac{2}{3}{e}^{i\pi /6}}=e^{i(\pi /2-\pi /6)}=e^{i\pi /3}$$
となる。

4. 回転と共役であることを示す。 $\phi (z)=\frac{z-z_0}{1-{\bar{z}}_{0}z}$ は $\mathbb{D}$ の自己同型で、$\mathbb{T}$ 上では向きを保つ同相写像である。$g=\phi \circ f\circ {\phi }^{-1}$ は $0$ を固定する $\mathbb{D}$ の自己同型なので、シュワルツの補題より $g(z)=cz$（$|c|=1$）の形をしている。連鎖律より $c=g^{\prime }(0)=f^{\prime }(z_0)=e^{i\pi /3}$ である。

したがって $\mathbb{T}$ 上で $f$ は回転 $z\mapsto e^{2\pi i\cdot \frac{1}{6}}z$ と、向きを保つ同相写像 $\phi$ によって共役である。

5. 回転数を求める。 回転数は向きを保つ同相写像による共役で不変である。また回転 $x\mapsto x+\frac{1}{6}$ の回転数は $\frac{1}{6}$ である。よって
$$\rho (f)=\frac{1}{6}$$
である。

（確認：$g^6=\mathrm{id}$ なので $f^6=\mathrm{id}$ となり、すべての点が周期 $6$ をもつ。これは回転数 $\frac{1}{6}$ と整合する。）

$f$ はメビウス変換で、行列 $M=\left(\begin{array}{cc}i& ia\\ a& 1\end{array}\right)$ に対応する。$\det M=i(1-a^2)$、$\mathrm{tr}M=1+i$ なので
$$\frac{(\mathrm{tr}M{)}^2}{\det M}=\frac{2i}{i(1-a^2)}=\frac{2}{1-a^2}.$$
$a^2=1/3$ のとき、この値は $3$ で $0\le 3<4$ だから、$f$ は楕円型である。つまり $f$ は単位円板の自己同型で、円板内部に固定点をもつ。したがって $f$ は円周上で、ある角 $\theta$ の回転と共役になる。
固有値を ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ とすると ${\lambda }_1/{\lambda }_2=e^{i\theta }$ で、
$$\frac{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^2}{{\lambda }_1{\lambda }_2}=2+2\cos \theta =3.$$
よって $\cos \theta =1/2$、すなわち $\theta =\pm \pi /3$ であり、$\rho (f)\in \{1/6,5/6\}$ となる。
符号は連続性で決める。パラメータ $a\in [0,1/\sqrt{3}]$ で考えると、$2+2\cos \theta =2/(1-a^2)$ は $a^2<1/2$ の間 $4$ 未満なので、$f$ はずっと楕円型である。この間、回転数は $a$ について連続で、$0$ にはならない。$a=0$ では $f(z)=iz$ なので $\rho =1/4$ である。このとき $\cos \theta =0$ であり、$a$ を増やすと $\cos \theta$ は $0$ から $1/2$ へ連続的に増える。したがって回転数は $1/4$ から $1/6$ へ連続的に動き、$a=1/\sqrt{3}$ で $\rho =1/6$ となる。