円周同相写像の回転数

向きを保つ円周同相写像の持ち上げ $F$ （ $F (x + 1) = F (x) + 1$ , 単調増加）について回転数 $ρ = lim_{n \to \infty} \frac{F ^{n} ( x ) - x}{n}$ を、回転 $x \mapsto x + α$ では $α$ 、 $F^{q} (x_{0}) = x_{0} + p$ となる周期軌道があれば $\frac{p}{q}$ として求められる（例: $F (x) = x + \frac{1}{2} + \frac{1}{8 π} sin (4 π x)$ は $F (0) = \frac{1}{2}$ , $F (\frac{1}{2}) = 1$ より $ρ = \frac{1}{2}$ ）

前提

周期点の個数とメビウス反転（大学院数学力学系・エルゴード理論）
三角関数の導関数（数学III 微分法）

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算数中学高校大学大学院

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三角関数の導関数（数学III 微分法）

説明

円周 $R / Z$ の向きを保つ同相写像 $f$ は、実数直線上の連続な単調増加関数 $F$ で $F (x + 1) = F (x) + 1$ をみたし、 $F (x) mod 1 = f (x mod 1)$ となるもの（持ち上げ）で表せます。回転数 $ρ (F) = lim_{n \to \infty} \frac{F ^{n} ( x ) - x}{n}$ は、 $f$ を 1 回施すごとに点が平均して円周を何周分進むかを表す量です。この技能では、回転 $x \mapsto x + α$ なら $ρ = α$ 、周期軌道 $F^{q} (x_{0}) = x_{0} + p$ が見つかれば $ρ = \frac{p}{q}$ として、極限を直接計算せずに回転数を求めます。

なぜそうしてよいのか

周期をもつ持ち上げの性質 $F (x + 1) = F (x) + 1$ を繰り返し使うと、整数 $m$ に対して $F (x + m) = F (x) + m$ 、さらに $F^{k} (x + m) = F^{k} (x) + m$ がすべての $k \geq 1$ で成り立ちます。いま $F^{q} (x_{0}) = x_{0} + p$ （ $p, q$ は整数, $q \geq 1$ ）とすると、 $F^{2 q} (x_{0}) = F^{q} (x_{0} + p) = F^{q} (x_{0}) + p = x_{0} + 2 p$ となり、帰納的に $F^{k q} (x_{0}) = x_{0} + k p$ です。一般の $n$ を $n = k q + r$ （ $0 \leq r < q$ ）と割り算すると $F^{n} (x_{0}) = F^{r} (F^{k q} (x_{0})) = F^{r} (x_{0}) + k p$ なので
$\frac{F ^{n} ( x _{0} ) - x _{0}}{n} = \frac{k p}{n} + \frac{F ^{r} ( x _{0} ) - x _{0}}{n} .$
第 2 項の分子は $r = 0, 1, \dots, q - 1$ の有限個の値しかとらないので $n \to \infty$ で $0$ に、第 1 項は $\frac{k p}{k q + r} \to \frac{p}{q}$ に収束します。回転 $F (x) = x + α$ では $F^{n} (x) = x + n α$ なので、極限をとるまでもなく $ρ = α$ です。

出発点 $x$ によらない理由 $F$ が単調増加で $F (x + 1) = F (x) + 1$ なので、 $x \leq y \leq x + 1$ なら $F^{n} (x) \leq F^{n} (y) \leq F^{n} (x) + 1$ です。よって任意の 2 点 $x, y$ について $∣ F^{n} (x) - F^{n} (y) ∣ \leq ∣ x - y ∣ + 1$ 程度の差しか生じず、 $n$ で割ると差は $0$ に近づきます。したがって 1 点 $x_{0}$ で極限が求まれば、それがすべての $x$ での値であり、回転数は $F$ だけで決まります（極限が必ず存在することはポアンカレが示しました）。

なお、同じ $f$ の持ち上げは $F + m$ （ $m$ は整数）の形で他にもあり、 $ρ (F + m) = ρ (F) + m$ です。円周写像 $f$ の量としては $ρ mod 1$ が意味をもちます。

手順

$F$ が持ち上げの条件をみたすか確かめる: $F (x + 1) = F (x) + 1$ と、 $F^{'} (x) > 0$ などによる狭義単調増加性
$F$ が回転 $x + α$ そのものなら $ρ = α$ と答える
そうでなければ、三角関数の項が $0$ になる点（ $sin$ の中身が $π$ の整数倍になる点など）を出発点 $x_{0}$ に選び、 $F (x_{0}), F^{2} (x_{0}), \dots$ を順に計算する
$F^{q} (x_{0}) = x_{0} + p$ （ $p$ は整数）となる最初の $q \geq 1$ を見つける
$ρ = \frac{p}{q}$ と答える（どの持ち上げについての値かを明記する）

例題

$F (x) = x + \frac{2}{5} + \frac{1}{20 π} sin (10 π x)$ は向きを保つ円周同相写像の持ち上げである。回転数 $ρ (F) = n \to \infty lim \frac{F ^{n} ( x ) - x}{n}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1 $sin (10 π (x + 1)) = sin (10 π x + 10 π) = sin (10 π x)$ なので $F (x + 1) = F (x) + 1$ 。また $F^{'} (x) = 1 + \frac{10 π}{20 π} cos (10 π x) = 1 + \frac{1}{2} cos (10 π x) \geq \frac{1}{2} > 0$ なので狭義単調増加である。

手順 2 $sin$ の項があるので回転そのものではない。

手順 3 $x = \frac{k}{5}$ （ $k$ は整数）では $sin (10 π \cdot \frac{k}{5}) = sin (2 k π) = 0$ なので $F (\frac{k}{5}) = \frac{k}{5} + \frac{2}{5} = \frac{k + 2}{5}$ 。 $x_{0} = 0$ から順に
$F (0) = \frac{2}{5}, F^{2} (0) = \frac{4}{5}, F^{3} (0) = \frac{6}{5}, F^{4} (0) = \frac{8}{5}, F^{5} (0) = \frac{10}{5} = 2.$

手順 4 $F^{5} (0) = 0 + 2$ なので $q = 5$ , $p = 2$ 。

手順 5 $ρ (F) = \frac{2}{5}$ 。

答え: $\frac{2}{5}$

よくある誤り

周期軌道を円周上で見て $F^{5} (0) \equiv 0 (mod 1)$ だから「 $5$ 回で $1$ 周」とし、 $ρ = \frac{1}{5}$ としてしまう誤り。正しくは持ち上げで何周進んだかを数え、 $F^{5} (0) = 2$ なので $ρ = \frac{2}{5}$ （円周上の点は $0 \to \frac{2}{5} \to \frac{4}{5} \to \frac{1}{5} \to \frac{3}{5} \to 0$ と 2 周している）
$n = 1$ の値 $F (x) - x$ をそのまま回転数としてしまう誤り。例題で $x = \frac{1}{20}$ なら $F (x) - x = \frac{2}{5} + \frac{1}{20 π}$ となり $ρ$ と一致しない。正しくは $ρ = lim_{n \to \infty} \frac{F ^{n} ( x ) - x}{n}$ で、周期軌道 $F^{q} (x_{0}) = x_{0} + p$ を使って $\frac{p}{q}$ と求める
持ち上げを取り替えても回転数は変わらないとしてしまう誤り。正しくは $G = F + 1$ も同じ円周写像の持ち上げだが $ρ (G) = ρ (F) + 1$ （例題なら $\frac{7}{5}$ ）。どの持ち上げの回転数かを指定するか、 $ρ mod 1$ で比べる
持ち上げの条件を確かめずに公式を使ってしまう誤り。たとえば $F (x) = x + \frac{2}{5} + c sin (10 π x)$ で $c > \frac{1}{10 π}$ とすると $F^{'} (x) = 1 + 10 π c cos (10 π x)$ が負になる点があり、同相写像の持ち上げではない。正しくは $1 - 10 π ∣ c ∣ \geq 0$ （等号は孤立点のみで許される）を確認してから回転数を論じる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
実数全体で定義された関数
$F (x) = x + \frac{2}{5} + \frac{1}{20 π} sin (10 π x)$
は $F (x + 1) = F (x) + 1$ をみたし、円周 $R / Z$ の向きを保つ同相写像 $f$ の持ち上げになっている。 $f$ の回転数 $ρ (f) = n \to \infty lim \frac{F ^{n} ( x ) - x}{n}$ を求めよ。

円周同相写像の回転数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題