力学系・エルゴード理論の問題

実数 $\omega$ をパラメータとし、$F_{\omega }:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を
$$F_{\omega }(x)=x+\omega +\frac{1}{4\pi }\sin (2\pi x)$$
で定める（$\sin$ の引数は弧度法）。$F_{\omega }$ は狭義単調増加で $F_{\omega }(x+1)=F_{\omega }(x)+1$ を満たすので、円周 $S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ の向きを保つ同相写像の持ち上げである。$F_{\omega }$ の回転数を
$$\rho (F_{\omega })=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{F_{\omega }^n(x)-x}{n}$$
で定める（$F_{\omega }^n$ は $F_{\omega }$ の $n$ 回合成。この極限は存在して $x\in \mathbb{R}$ によらない。また $\mathrm{mod}1$ はとらない）。

$-\frac{1}{2}\le \omega \le \frac{1}{2}$ の範囲で、$\rho (F_{\omega })=0$ となる $\omega$ の値の範囲を求めよ。

$a=\frac{1}{\sqrt{3}}$ とし、複素平面の単位円周 $\mathbb{T}=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$ 上の写像 $f:\mathbb{T}\to \mathbb{T}$ を
$$f(z)=i\frac{z+a}{1+az}$$
で定める。$S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ と $\mathbb{T}$ を $x\mathrm{mod}1\mapsto e^{2\pi ix}$ で同一視すると、$f$ は向きを保つ $S^1$ の同相写像になる。$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を $f$ の持ち上げ（連続で $e^{2\pi iF(x)}=f(e^{2\pi ix})$ をみたすもの）とし、$f$ の回転数を
$$\rho (f)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{F^n(x)-x}{n}\mathrm{mod}1\in [0,1)$$
で定める（この値は $x$ と持ち上げの選び方によらない）。$\rho (f)$ を求めよ。

実数 $x$ に対して $f(x)=x^2-2$ と定め、$f^2=f\circ f$ とする。
$$p_0=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},p_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$$
とおくと $f(p_0)=p_1,f(p_1)=p_0$ であり、$\{p_0,p_1\}$ は $f$ の周期 $2$ の軌道である。この軌道の乗数 $(f^2{)}^{\prime }(p_0)$ を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、平面写像 $F:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ を
$$F(x,y)=\left(y,-\frac{1}{2}x+ay+y^2\right)$$
で定める。原点 $(0,0)$ は $F$ の不動点である。原点における $F$ のヤコビ行列の固有値の絶対値がすべて $1$ より小さくなるような $a$ の値の範囲を求めよ。

区間 $[0,1)$ 上の倍角写像 $f(x)=2x\mathrm{mod}1$ を考える。ルベーグ測度 $\lambda$（$[0,1)$ 上の一様な確率測度）は $f$ の不変確率測度であり、$f$ は $\lambda$ に関してエルゴード的である。関数 $\phi (x)=x^2+x$ に対し、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in [0,1)$ で存在する極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\phi (f^{k}x)$$
の値を求めよ。