力学系・エルゴード理論の問題

正の実数 $a$ をパラメータとする写像 $f_a:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ を $$f_a(x,y)=\left(1-a{x}^2+\frac{1}{2}y,x\right)$$ で定める。$f_a$ の不動点 $p$ で、$p$ におけるヤコビ行列 $D{f}_a(p)$ の固有値（複素数も含む）の絶対値がすべて $1$ より小さいもの（双曲的な吸引不動点）が存在するような $a$ 全体の集合を求めよ。

正の実数 $r$ をパラメータとし、$D=(0,\infty {)}^2$ 上の写像 $F_r:D\to D$ を
$$F_r(x,y)=\left(x\exp \left(r\left(1-\frac{2x+y}{3}\right)\right),x\right)$$
で定める（遅れのある個体数モデル $x_{n+1}=x_n\exp (r(1-\frac{2x_n+x_{n-1}}{3}))$ を 2 次元の写像として書いたもの）。$F_r$ は $D$ 内にただ 1 つの不動点 $p$ をもつ。

不動点 $p$ における $F_r$ のヤコビ行列の 2 つの固有値が、どちらも実数でなく、かつ絶対値が $1$ より小さくなるような $r$ の値の範囲を求めよ。

正の実数 $\mu$ をパラメータとし、平面 ${\mathbb{R}}^2$ 上の写像 $F_{\mu }:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ を
$$F_{\mu }(x,y)=\left(y,\mu y{e}^{-x}\right)$$
で定め、離散力学系 $(x_{n+1},y_{n+1})=F_{\mu }(x_n,y_n)$ を考える。$\mu \ne 1$ のとき、$F_{\mu }$ は原点 $(0,0)$ のほかにちょうど 1 つの不動点 $p_{\mu }$ をもつ。

$p_{\mu }$ における $F_{\mu }$ のヤコビ行列のすべての固有値の絶対値が $1$ より小さくなる（したがって $p_{\mu }$ が線形化により漸近安定と判定できる）ような $\mu$ の値の範囲を求めよ。ただし $\mu \ne 1$ とする。

実数 $d$ を $0<d<1$ をみたすパラメータとし、$x\ge 0,y\ge 0$ における平面の常微分方程式系
$$\frac{dx}{dt}=x\left(1-\frac{x}{3}\right)-\frac{xy}{1+x},\frac{dy}{dt}=y\left(\frac{x}{1+x}-d\right)$$
を考える。$x>0$ かつ $y>0$ をみたす平衡点を共存平衡点とよぶ。

共存平衡点が存在し、かつその点におけるヤコビ行列のすべての固有値の実部が負となるような $d$ の値の範囲を、区間で求めよ。

写像 $f:[0,1]\to [0,1]$, $f(x)=4x(1-x)$ を考える。点 $p=\frac{5+\sqrt{5}}{8}$ は $f$ の最小周期 $2$ の周期点である。$p$ におけるリャプノフ指数
$$\lambda (p)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(p)\right|$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。