平面写像の不動点の安定性

平面写像 $F$ の不動点でのヤコビ行列 $J$ を求め、固有値の絶対値がすべて $1$ より小さい条件を $∣ det J ∣ < 1$ かつ $∣ tr J ∣ < 1 + det J$ として、パラメータの範囲を求められる

前提

1 次元写像の周期軌道の乗数と安定性（大学院数学力学系・エルゴード理論）
2 変数の平衡点の線形化と安定性（大学数学数理モデル）

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算数中学高校大学大学院

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2 変数の平衡点の線形化と安定性（大学数学数理モデル）

説明

平面上の写像 $F (x, y) = (f (x, y), g (x, y))$ を繰り返し施す離散力学系 $(x_{k + 1}, y_{k + 1}) = F (x_{k}, y_{k})$ で、不動点 $p$ （ $F (p) = p$ ）の近くの点が $p$ に吸い寄せられるか（漸近安定か）を判定できるようになります。不動点でのヤコビ行列 $J$ の固有値がすべて絶対値 $1$ 未満なら漸近安定で、この条件は固有値を求めずに $∣ det J ∣ < 1$ かつ $∣ tr J ∣ < 1 + det J$ という不等式で書けます。パラメータを含む写像で、不動点が安定になるパラメータの範囲を求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

不動点 $p$ の近くで $u_{k} = (x_{k}, y_{k}) - p$ とおくと、全微分により $u_{k + 1} = F (p + u_{k}) - F (p) \approx J u_{k}$ です。したがって近くの軌道のふるまいは線形写像の繰り返し $u_{k} = J^{k} u_{0}$ で近似され、 $J$ の固有値 $λ$ の方向には $λ^{k}$ 倍されます。1 次元写像で $∣ f^{'} (p) ∣ < 1$ が吸引的の条件だったのと同じく、すべての固有値で $∣ λ ∣ < 1$ なら $J^{k} u_{0} \to 0$ となって $p$ は漸近安定、どれか一つでも $∣ λ ∣ > 1$ なら不安定です。微分方程式の平衡点では「実部が負」が条件でしたが、写像では「絶対値が 1 未満」が条件になる点が違います。

固有値は $T = tr J$ , $D = det J$ とおいた特性多項式 $p (λ) = λ^{2} - T λ + D$ の根です。両根が単位円の内側にある条件を調べます。(i) 根が虚数のとき、二つは共役で $∣ λ ∣^{2} = λ λ ˉ = D$ なので条件は $D < 1$ です（このとき $D > 0$ ）。さらに $T^{2} < 4 D$ から $∣ T ∣ < 2 D \leq 1 + D$ が自動的に成り立ちます。(ii) 根が実数のとき、両根が $(- 1, 1)$ にあれば積 $D$ について $∣ D ∣ < 1$ 、また $p (1) = 1 - T + D > 0$ , $p (- 1) = 1 + T + D > 0$ です。逆に $∣ D ∣ < 1$ かつ $p (\pm 1) > 0$ なら、 $p (1) > 0$ と $p (- 1) > 0$ より $\pm 1$ はどちらも二根の間にない（二根の間では $p < 0$ ）ので、二根は $(- 1, 1)$ の中にあるか、ともに $1$ より大きいか、ともに $- 1$ より小さいかのどれかですが、後の二つでは $∣ D ∣ = ∣ λ_{1} λ_{2} ∣ > 1$ となり矛盾します。

(i)(ii) をまとめると、両固有値の絶対値が $1$ 未満 $⟺$ $∣ D ∣ < 1$ かつ $1 - T + D > 0$ かつ $1 + T + D > 0$ 、すなわち $∣ det J ∣ < 1$ かつ $∣ tr J ∣ < 1 + det J$ です。境界の $1 - T + D = 0$ は固有値 $1$ 、 $1 + T + D = 0$ は固有値 $- 1$ 、 $D = 1$ （かつ $∣ T ∣ < 2$ ）は絶対値 1 の虚数固有値に対応します。

手順

不動点 $p$ を求める（ $F (p) = p$ を解く）
ヤコビ行列 $J = (f_{x} g_{x} f_{y} g_{y})$ を偏微分で求め、 $p$ の座標を代入する
$T = tr J$ と $D = det J$ を計算する
安定条件 $∣ D ∣ < 1$ と $∣ T ∣ < 1 + D$ （すなわち $1 - T + D > 0$ かつ $1 + T + D > 0$ ）を立てる
パラメータについての不等式を連立して解き、範囲を求める（等号の場合は絶対値 $1$ の固有値が現れるので含めない）

例題

実数 $a$ をパラメータとする平面写像 $F (x, y) = (y, - \frac{1}{2} x + a y - y^{2})$ について、原点は不動点である。原点のヤコビ行列の固有値の絶対値がすべて $1$ より小さくなる $a$ の範囲を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $F (0, 0) = (0, 0 + 0 - 0) = (0, 0)$ なので原点は不動点である。

【手順 2】 $f (x, y) = y$ , $g (x, y) = - \frac{1}{2} x + a y - y^{2}$ より $f_{x} = 0$ , $f_{y} = 1$ , $g_{x} = - \frac{1}{2}$ , $g_{y} = a - 2 y$ 。原点を代入して
$J = (0 - \frac{1}{2} 1 a) .$

【手順 3】 $T = tr J = a$ , $D = det J = 0 \cdot a - 1 \cdot (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ 。

【手順 4】条件は $∣ D ∣ = \frac{1}{2} < 1$ （常に成立）と $∣ T ∣ < 1 + D$ 、すなわち $∣ a ∣ < \frac{3}{2}$ 。

【手順 5】よって $- \frac{3}{2} < a < \frac{3}{2}$ 。
（確認: $a = \frac{3}{2}$ では $λ^{2} - \frac{3}{2} λ + \frac{1}{2} = (λ - 1) (λ - \frac{1}{2})$ で固有値 $1$ が現れ、境界は含まれない。）

答え: $(- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$

よくある誤り

微分方程式の平衡点の判定条件（ $tr J < 0$ かつ $det J > 0$ ）を写像にそのまま使ってしまう誤り。例題で $a < 0$ とするのは誤り。写像では固有値の絶対値が問題で、正しくは $∣ det J ∣ < 1$ かつ $∣ tr J ∣ < 1 + det J$ 。
$∣ det J ∣ < 1$ を確かめ忘れる誤り。 $J = (01 - 2 0)$ では $T = 0$ , $D = 2$ で $∣ T ∣ < 1 + D$ は成り立つが、固有値は $\pm 2 i$ で絶対値 $2 > 1$ なので不安定。正しくは両方の条件が必要。
条件を $∣ tr J ∣ < 1$ や $∣ tr J ∣ < 2$ のように覚えてしまう誤り。例題で $∣ a ∣ < 1$ とすると $1 \leq ∣ a ∣ < \frac{3}{2}$ の安定な範囲を落とす。正しくは右辺は $1 + det J$ で、 $det J$ に依存する。
ヤコビ行列に不動点の座標を代入する前の式（例題なら $g_{y} = a - 2 y$ ）のまま判定したり、原点でない不動点で原点の値を使ったりする誤り。正しくは調べたい不動点 $p$ の座標を代入した $J (p)$ で判定する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$a$ を実数の定数とし、平面写像 $F : R^{2} \to R^{2}$ を
$F (x, y) = (y, - \frac{1}{2} x + a y + y^{2})$
で定める。原点 $(0, 0)$ は $F$ の不動点である。原点における $F$ のヤコビ行列の固有値の絶対値がすべて $1$ より小さくなるような $a$ の値の範囲を求めよ。

平面写像の不動点の安定性

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題