力学系・エルゴード理論の問題

不動点. $f_a(x,y)=(x,y)$ とすると $y=x$ であり、
$$x=1-a{x}^2+\frac{1}{2}x⟺a{x}^2+\frac{1}{2}x-1=0.$$
判別式 $\frac{1}{4}+4a>0$ なので、$s=\sqrt{\frac{1}{4}+4a}$ とおくと不動点はちょうど 2 つ
$$x_{\pm }=\frac{-\frac{1}{2}\pm s}{2a},p_{\pm }=(x_{\pm },x_{\pm })$$
である。

線形化.
$$D{f}_a(x,y)=\left(\begin{array}{cc}-2ax& \frac{1}{2}\\ 1& 0\end{array}\right)$$
の固有多項式は
$${\lambda }^2+2ax\lambda -\frac{1}{2}.$$
$P=2ax$ とおくと、不動点 $p_{\pm }$ では $P_{\pm }=2a{x}_{\pm }=-\frac{1}{2}\pm s$。

固有値が単位円の内部にある条件. 実係数の 2 次式 ${\lambda }^2+P\lambda +q$ の 2 根がともに $|\lambda |<1$ を満たす条件は
$$|q|<1,1+P+q>0,1-P+q>0$$
である（シューア・コーンあるいはジュリーの判定条件。2 根が虚数なら $|\lambda {|}^2=q$ なので $|q|<1$ が条件で、このとき後の 2 式も成り立つ。2 根が実数なら、根の積 $q$ について $|q|<1$ かつ多項式の $\lambda =\pm 1$ での値が正であることが、2 根がともに $(-1,1)$ に入る条件になる）。

ここでは $q=-\frac{1}{2}$ なので $|q|<1$ は成り立ち、残りの条件は
$$1+P-\frac{1}{2}>0,1-P-\frac{1}{2}>0⟺-\frac{1}{2}<P<\frac{1}{2}.$$
（$q<0$ なので固有値は相異なる 2 実数である。）

- $p_{-}$: $P_{-}=-\frac{1}{2}-s<-\frac{1}{2}$ なので条件を満たさない（$1+P_{-}+q<0$ より $\lambda <-1$ の固有値をもつサドル）。
- $p_{+}$: $s>\frac{1}{2}$ より $P_{+}=-\frac{1}{2}+s>0>-\frac{1}{2}$。もう一方の条件は
$$-\frac{1}{2}+s<\frac{1}{2}⟺s<1⟺\frac{1}{4}+4a<1⟺a<\frac{3}{16}.$$

よって $a>0$ のもとで求める集合は $0<a<\frac{3}{16}$。$a=\frac{3}{16}$ では $p_{+}$ の固有値の 1 つが $-1$ となり（$P_{+}=\frac{1}{2}$ のとき ${\lambda }^2+\frac{1}{2}\lambda -\frac{1}{2}=(\lambda +1)(\lambda -\frac{1}{2})$）、これは周期倍分岐の値である。$a>\frac{3}{16}$ では $p_{+}$ も不安定になる。

答えは区間 $\left(0,\frac{3}{16}\right)$。

不動点 $(x,y)$ は $y=x$ かつ $x=1-a{x}^2+\frac{1}{2}x$、すなわち $a{x}^2+\frac{1}{2}x-1=0$ を満たす。判別式 $\frac{1}{4}+4a>0$ より、$a>0$ のとき常に実数の不動点が $2$ つある。

ヤコビ行列は $D{f}_a(x,y)=\left(\begin{array}{cc}-2ax& \frac{1}{2}\\ 1& 0\end{array}\right)$。固有値は ${\lambda }^2+t\lambda -\frac{1}{2}=0$（$t=2ax$）の根である。

2 次式 ${\lambda }^2+p\lambda +q$ の根がともに $|\lambda |<1$ であるための必要十分条件（ジュリーの条件）は $|q|<1$ かつ $|p|<1+q$。ここで $q=-\frac{1}{2}$、$p=t$ なので条件は $|t|<\frac{1}{2}$。

不動点の条件を $t$ で書く。$x=\frac{t}{2a}$ を $a{x}^2+\frac{1}{2}x-1=0$ に代入すると $\frac{t^2}{4a}+\frac{t}{4a}-1=0$、すなわち $t^2+t-4a=0$。よって
$$t_{\pm }=\frac{-1\pm \sqrt{1+16a}}{2}.$$
- $t_{-}=\frac{-1-\sqrt{1+16a}}{2}<-1$ なので $|t_{-}|<\frac{1}{2}$ を満たさない。
- $t_{+}=\frac{-1+\sqrt{1+16a}}{2}>0$ で、$t_{+}<\frac{1}{2}⟺\sqrt{1+16a}<2⟺a<\frac{3}{16}$。

したがって吸引不動点が存在するのは $0<a<\frac{3}{16}$。

検算: $a=\frac{3}{16}$ のとき $t_{+}=\frac{1}{2}$、固有値の方程式 ${\lambda }^2+\frac{1}{2}\lambda -\frac{1}{2}=0$ の根は $\lambda =\frac{1}{2},-1$ で $|\lambda |=1$ となり吸引的でない（端点は含まれない）。$a=\frac{1}{16}$ のとき $t_{+}=\frac{-1+\sqrt{2}}{2}\approx 0.207$、${\lambda }^2+0.207\lambda -0.5=0$ の根は約 $0.58$ と $-0.79$ で、ともに $|\lambda |<1$ である。