力学系・エルゴード理論の問題

不動点. $F_{\mu }(x,y)=(x,y)$ とすると $y=x$ かつ $y=\mu y{e}^{-x}$。$y\ne 0$ なら $\mu e^{-x}=1$ より $x=\log \mu$。よって原点以外の不動点は
$$p_{\mu }=(\log \mu ,\log \mu )$$
であり、$\mu \ne 1$ のとき原点と異なる。

線形化. $F_{\mu }$ のヤコビ行列は
$$D{F}_{\mu }(x,y)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -\mu y{e}^{-x}& \mu e^{-x}\end{array}\right).$$
$p_{\mu }$ では $\mu e^{-x}=1$, $y=\log \mu$ なので
$$D{F}_{\mu }(p_{\mu })=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -\log \mu & 1\end{array}\right).$$
トレースは $T=1$、行列式は $D=\log \mu$ で、特性方程式は
$${\lambda }^2-\lambda +\log \mu =0$$
である。

固有値が単位円の内側にある条件. 実係数の 2 次方程式 ${\lambda }^2-T\lambda +D=0$ の 2 根がともに $|\lambda |<1$ を満たすための必要十分条件は（シュール・コーンの条件、ジュリーの条件）
$$|D|<1,|T|<1+D$$
である。念のため確認すると、$p(\lambda )={\lambda }^2-T\lambda +D$ について、2 根が実数なら $p(1)=1-T+D>0$, $p(-1)=1+T+D>0$ と軸の位置 $|T/2|<1$ が必要十分であり、2 根が虚数なら $|\lambda {|}^2=D$ なので $D<1$ が必要十分である。どちらの場合も上の条件にまとめられる。

$T=1$, $D=\log \mu$ を代入すると
$$-1<\log \mu <1,1<1+\log \mu$$
となり、合わせて $0<\log \mu <1$、すなわち
$$1<\mu <e$$
である。

（補足: $0<\mu <1$ では $D=\log \mu <0$ より $p(1)=\log \mu <0$ となり、$1$ より大きい実固有値をもつので不安定である。$\mu =e$ では ${\lambda }^2-\lambda +1=0$ より $\lambda =e^{\pm i\pi /3}$ が単位円上にあり、線形化では安定性が判定できない臨界点（分岐が起こりうる点）である。$\mu >e$ では $D>1>\frac{1}{4}$ より固有値は虚数で、その絶対値は $\sqrt{\log \mu }>1$ となり不安定である。）

よって求める範囲は $1<\mu <e$ である。

不動点: $(x,y)=F_{\mu }(x,y)$ より $x=y$, $y=\mu y{e}^{-x}$。原点以外では $y\ne 0$ なので $e^x=\mu$、よって $p_{\mu }=(\log \mu ,\log \mu )$。ここで $L=\log \mu$ とおく。

ヤコビ行列は $D{F}_{\mu }(x,y)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -\mu y{e}^{-x}& \mu e^{-x}\end{array}\right)$。$p_{\mu }$ では $\mu e^{-x}=\mu e^{-L}=1$ なので
$$J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -L& 1\end{array}\right).$$
特性多項式は ${\lambda }^2-\lambda +L=0$（トレース $1$、行列式 $L$）。

2 次式 ${\lambda }^2-t\lambda +d$ の根の絶対値がともに $1$ より小さい条件（Jury の条件）は $|d|<1$ かつ $|t|<1+d$、すなわち $1-t+d>0$, $1+t+d>0$, $d<1$。
- $1-1+L>0$ より $L>0$
- $1+1+L>0$ より $L>-2$（$L>0$ なら成り立つ）
- $L<1$

よって $0<\log \mu <1$、すなわち $1<\mu <e$。

検算: $\mu =2$ ($L\approx 0.693$) では $\lambda =\frac{1\pm i\sqrt{4L-1}}{2}$ で $|\lambda {|}^2=L\approx 0.693<1$。$\mu =e$ では $L=1$、$|\lambda {|}^2=1$ で境界（Neimark-Sacker 分岐）。$\mu \to 1^{+}$ では $L\to 0$、$\lambda =1$ が根となり境界。$\mu =1/2$ では $L<0$ で ${\lambda }^2-\lambda -0.693=0$ の根が $\approx 1.43$ となり不安定。