1 変数の自励系の平衡点と線形安定性

ある細胞内のタンパク質の濃度を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、$x(t)$ は実数値をとる）とし、その時間変化が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=-x^3+6x^2-11x+6$$
で表されるとする。この微分方程式の平衡点のうち、漸近安定なものをすべて求めよ。

実数 $t$ を時刻とし、実数値をとる関数 $x(t)$ が自励系の微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=-x^3+6x^2-8x$$
を満たすとする。この微分方程式の平衡点のうち、線形安定性解析によって漸近安定と判定されるものをすべて求めよ。

実数値をとる量 $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）が、自励系の微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=-x^3+3x^2+x-3$$
に従って変化するとする。この微分方程式の平衡点のうち、線形安定性解析によって漸近安定と判定されるものをすべて求めよ。

ある魚の個体数（単位: 千匹）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに毎年一定量が漁獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x\left(1-\frac{x}{12}\right)-\frac{5}{3}$$
に従うとする（$x\geqq 0$ の範囲で考える）。

$f(x)=x\left(1-\frac{x}{12}\right)-\frac{5}{3}$ とおく。この微分方程式の平衡点（$f(x^{\ast })=0$ を満たす $x^{\ast }$）のうち、線形化による判定で漸近安定であるものを $x^{\ast }$ とするとき、$x^{\ast }$ と $f^{\prime }(x^{\ast })$ の値をこの順に組 $(x^{\ast },f^{\prime }(x^{\ast }))$ で求めよ。

ある動物の個体数密度を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）とする。個体数が少なすぎると繁殖相手が見つかりにくくなる効果（アリー効果）を取り入れて、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{20}x(x-2)(10-x)$$
に従うとする。ここで $x$ は 0 以上の実数とする。

この微分方程式の $x\geqq 0$ における平衡点のうち、漸近安定なものをすべて求めよ。

ある湖の魚の個体数（単位: 千匹）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに個体数に比例する割合で漁獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{4}{5}x\left(1-\frac{x}{500}\right)-Ex$$
に従うとする。ここで $E$ は漁獲の強さを表す定数で、$0<E<\frac{4}{5}$ とする。この方程式の正の平衡点 $x^{\ast }$ は安定であり、個体数が $x^{\ast }$ に落ち着いたときの 1 年あたりの漁獲量は $Y(E)=E{x}^{\ast }$ である。$Y(E)$ を最大にする $E$ の値と、そのときの $Y(E)$ の値を、この順に組 $(E,Y)$ で求めよ。

ある湖の魚の個体数（単位: 千匹）を、世代ごとに $N_t$（$t$ は 0 以上の整数）で表す。この魚は密度効果を受けて増え、その推移が離散時間の個体群モデル（ベバートン・ホルト型モデル）
$$N_{t+1}=f(N_t),f(N)=\frac{5N}{1+\frac{N}{20}}(N\geqq 0)$$
に従うとする。

このモデルの不動点（平衡点、$f(N)=N$ を満たす $N\geqq 0$）のうち、漸近安定であるものはただ 1 つである。それを $N^{\ast }$ とし、$f$ の $N^{\ast }$ における微分係数を $\lambda =f^{\prime }(N^{\ast })$ とする。組 $(N^{\ast },\lambda )$ をこの順に求めよ。

正の定数 $r,K,H$ が $H<\frac{rK}{4}$ を満たすとし、一定量の捕獲をともなう個体群モデル
$$x^{\prime }(t)=rx(t)\left(1-\frac{x(t)}{K}\right)-H(1)$$
を考える。右辺 $f(x)=rx\left(1-\frac{x}{K}\right)-H$ の 2 つの零点を
$$p=\frac{K}{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{4H}{rK}}\right),q=\frac{K}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{4H}{rK}}\right)$$
とおく（$0<p<q$）。

次の 2 つの事実は用いてよい。
- (A) 任意の実数 $x_0$ と $t_0$ に対し、$x(t_0)=x_0$ を満たす $(1)$ の解は（定義される範囲で）ただ 1 つである。
- (B) $(1)$ の解 $x(t)$ が、それが定義される $t\ge 0$ の範囲で有界閉区間に含まれ続けるならば、その解は $t\ge 0$ 全体に延長できる。

初期値 $x(0)=x_0$ が $x_0>p$ を満たすとき、$(1)$ の解は $t\ge 0$ 全体で定義されて $\underset{t\to \infty }{\lim }x(t)=q$ となることを証明せよ。

アリー効果をもつ生物の個体数 $x(t)(\geqq 0)$ に、捕獲努力 $h$ に比例する捕獲を加えたモデル
$$\frac{dx}{dt}=4x(x-3)(8-x)-hx$$
を考える。ここで $h$ は $0<h<25$ を満たす定数である。

このとき、$x>0$ の範囲にある平衡点のうち漸近安定なものはただ 1 つ存在する。それを $x^{\ast }(h)$ とし、その平衡点での単位時間あたりの捕獲量を $Y(h)=h{x}^{\ast }(h)$ とする。$0<h<25$ における $Y(h)$ の最大値を求めよ。