数理モデルの問題

$t$ を時間とし、$x(t)>0,y(t)>0$ に対する連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(4-2y),\frac{dy}{dt}=y(x-3)$$
を考える。初期条件 $x(0)=3,y(0)=2\log 2$ を満たす解は周期解であり、その軌道は第 1 象限内の閉曲線になる。この軌道上での $y$ の最大値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）が、被食者のロジスティック成長と捕食者の飽和型の捕食を取り入れた連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x\left(1-\frac{x}{K}\right)-\frac{xy}{1+x},\frac{dy}{dt}=y\left(\frac{x}{1+x}-\frac{3}{5}\right)$$
に従うとする。ここで $K$ は $K>\frac{3}{2}$ を満たす実数の定数（環境収容力）である。このとき、$x>0,y>0$ を満たす平衡点（内部平衡点）がただ 1 つ存在する。

内部平衡点におけるヤコビ行列の固有値が純虚数 $\pm i\omega$（$\omega >0$）となる $K$ の値を $K_0$ とする。組 $(K_0,\omega )$ を求めよ。ただし $\omega$ は $K=K_0$ のときの値とする。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(4-2y),\frac{dy}{dt}=y(3x-6)$$
に従って変化している。初期値は $x(0)>0$, $y(0)>0$ で、解は正の平衡点ではないとする。このとき解はすべての時刻で $x>0,y>0$ を保ち、相平面 $xy$ 上で正の平衡点を囲む閉曲線を周期的に描くことが知られている。

ある解について、被食者の個体数密度 $x(t)$ の最大値が最小値のちょうど $3$ 倍であった。この解における $x(t)$ の最大値を求めよ。

同じ資源をめぐって競争する 2 種の生物の個体数密度を $x(t),y(t)$（$t$ は時刻、$x\geqq 0,y\geqq 0$）とする。これらが、ロジスティック方程式に種間競争の項を加えた競争モデル
$$\frac{dx}{dt}=x(6-2x-y),\frac{dy}{dt}=y(5-x-2y)$$
に従うとする。

領域 $x\geqq 0,y\geqq 0$ にあるこの系の平衡点をすべて求め、各平衡点でのヤコビ行列の固有値を調べると、線形化によって漸近安定と判定される平衡点がちょうど 1 つある。その平衡点におけるヤコビ行列の固有値の集合を求めよ。

出生・死亡・移動のない集団での感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$ における感受性者・感染者・回復者（免疫保持者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらが SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta$, $\gamma$ は正の定数である。この集団では流行の開始前に人口の $\frac{1}{5}$ がすでに免疫をもっており、初期値を
$$s(0)=\frac{4}{5}-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=\frac{1}{5}(\epsilon >0)$$
とする。以下では $\epsilon \to +0$ の極限での値を考える。この極限で、流行の終息後の感受性者の割合 $\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{5}$ になるように基本再生産数 $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ が定まっているとする。このとき、流行中の感染者の割合の最大値 $\underset{t\geqq 0}{\max }i(t)$ の $\epsilon \to +0$ での極限を求めよ。