数理モデルの問題

$f(x,y)=x(6-2x-y)=6x-2x^2-xy$, $g(x,y)=y(5-x-2y)=5y-xy-2y^2$ とおく。

平衡点 $f=0$ より $x=0$ または $2x+y=6$、$g=0$ より $y=0$ または $x+2y=5$。
- $x=0,y=0$：$(0,0)$
- $y=0,2x+y=6$：$(3,0)$
- $x=0,x+2y=5$：$\left(0,\frac{5}{2}\right)$
- $2x+y=6,x+2y=5$：第 1 式より $y=6-2x$。これを第 2 式に代入して $x+12-4x=5$ より $x=\frac{7}{3}$、$y=\frac{4}{3}$。よって $\left(\frac{7}{3},\frac{4}{3}\right)$（$x>0,y>0$ を満たす）。

ヤコビ行列
$$J(x,y)=\left(\begin{array}{cc}6-4x-y& -x\\ -y& 5-x-4y\end{array}\right).$$

- $(0,0)$：$J=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$、固有値 $6,5$（ともに正）なので不安定。
- $(3,0)$：$J=\left(\begin{array}{cc}-6& -3\\ 0& 2\end{array}\right)$、上三角行列なので固有値は $-6,2$。正の固有値があるので不安定（鞍点）。
- $\left(0,\frac{5}{2}\right)$：$J=\left(\begin{array}{cc}\frac{7}{2}& 0\\ -\frac{5}{2}& -5\end{array}\right)$、下三角行列なので固有値は $\frac{7}{2},-5$。不安定（鞍点）。
- $\left(\frac{7}{3},\frac{4}{3}\right)$：
$$6-4\cdot \frac{7}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{14}{3},5-\frac{7}{3}-4\cdot \frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$
より $J=\left(\begin{array}{cc}-\frac{14}{3}& -\frac{7}{3}\\ -\frac{4}{3}& -\frac{8}{3}\end{array}\right)$。
トレースは $\mathrm{tr}J=-\frac{22}{3}$、行列式は $\det J=\frac{112}{9}-\frac{28}{9}=\frac{28}{3}$。固有方程式は
$${\lambda }^2+\frac{22}{3}\lambda +\frac{28}{3}=0⟺3{\lambda }^2+22\lambda +28=0.$$
解の公式より
$$\lambda =\frac{-22\pm \sqrt{484-336}}{6}=\frac{-22\pm 2\sqrt{37}}{6}=\frac{-11\pm \sqrt{37}}{3}.$$
$\sqrt{37}<\sqrt{121}=11$ なので 2 つの固有値はともに負の実数であり、この平衡点は漸近安定（安定結節点）である。

したがって、漸近安定な平衡点は $\left(\frac{7}{3},\frac{4}{3}\right)$（共存平衡点）であり、求める固有値の集合は
$$\left\{\frac{-11+\sqrt{37}}{3},\frac{-11-\sqrt{37}}{3}\right\}.$$

平衡点は $x(6-2x-y)=0$ かつ $y(5-x-2y)=0$ の解である。

• $(0,0)$
• $x=0,y\ne 0$ のとき $5-2y=0$ より $(0,5/2)$
• $y=0,x\ne 0$ のとき $6-2x=0$ より $(3,0)$
• $x,y>0$ のとき $2x+y=6,x+2y=5$ を解いて $(7/3,4/3)$

ヤコビ行列は $J=\left(\begin{array}{cc}6-4x-y& -x\\ -y& 5-x-4y\end{array}\right)$ である。

• $(0,0)$: 固有値は $6,5$ で不安定。
• $(3,0)$: $J=\left(\begin{array}{cc}-6& -3\\ 0& 2\end{array}\right)$ より固有値は $-6,2$ で鞍点（不安定）。
• $(0,5/2)$: $J=\left(\begin{array}{cc}7/2& 0\\ -5/2& -5\end{array}\right)$ より固有値は $7/2,-5$ で鞍点（不安定）。
• $(7/3,4/3)$: $J=\left(\begin{array}{cc}-14/3& -7/3\\ -4/3& -8/3\end{array}\right)$。トレースは $-22/3$、行列式は $(112-28)/9=28/3$。特性方程式は ${\lambda }^2+\frac{22}{3}\lambda +\frac{28}{3}=0$、すなわち $3{\lambda }^2+22\lambda +28=0$。よって $\lambda =\frac{-11\pm \sqrt{37}}{3}$。$\sqrt{37}<11$ なので両方とも負であり、漸近安定。

検算: 固有値の和は $-22/3$、積は $(121-37)/9=84/9=28/3$ で、トレース・行列式と一致する。

漸近安定な平衡点は共存平衡点 $(7/3,4/3)$ のみで、その固有値の集合は $\left\{\frac{-11+\sqrt{37}}{3},\frac{-11-\sqrt{37}}{3}\right\}$ である。