数理モデルの問題

平衡点

$x>0$, $y>0$ の範囲で $\frac{dx}{dt}=0$, $\frac{dy}{dt}=0$ となるのは $2-y=0$ かつ $x-1=0$、すなわち平衡点 $(1,2)$ である。

保存量

$x>0$, $y>0$ で
$$H(x,y)=x-\log x+y-2\log y$$
とおくと
$$\frac{dH}{dt}=\left(1-\frac{1}{x}\right)\frac{dx}{dt}+\left(1-\frac{2}{y}\right)\frac{dy}{dt}=\frac{x-1}{x}\cdot x(2-y)+\frac{y-2}{y}\cdot y(x-1)=(x-1)(2-y)+(y-2)(x-1)=0$$
なので、$H$ は解に沿って一定である（保存量）。

$y$ が最大・最小になる点

$y$ が極値をとるのは $\frac{dy}{dt}=y(x-1)=0$、すなわち $x=1$ のときである。軌道上で $x=1$ となる点では
$$H(1,y)=1+(y-2\log y)$$
となる。$g(y)=y-2\log y$ とおくと $g^{\prime }(y)=1-\frac{2}{y}$ なので、$g$ は $0<y<2$ で減少、$y>2$ で増加する。よって $H$ の値が一定の軌道は直線 $x=1$ とちょうど $2$ 点で交わり、その $y$ 座標は $2$ より小さいものと大きいものが $1$ つずつある。小さいほうが $Y_{\min }$、大きいほうが $Y_{\max }$ である。

したがって $Y_{\min }$, $Y_{\max }$ は
$$g(Y_{\min })=g(Y_{\max })$$
を満たす。

条件 $Y_{\max }=2Y_{\min }$ を使う

$m=Y_{\min }$ とおくと $Y_{\max }=2m$ であり、
$$m-2\log m=2m-2\log (2m).$$
$\log (2m)=\log 2+\log m$ を代入すると
$$m-2\log m=2m-2\log 2-2\log m$$
$$m=2\log 2.$$

$2\log 2\approx 1.386$ は $2$ より小さく、$2m=4\log 2\approx 2.773$ は $2$ より大きいので、確かに最小値・最大値の組になっている。

よって $Y_{\min }=2\log 2$ である。

保存量を求める。$\frac{dy}{dx}=\frac{y(x-1)}{x(2-y)}$ を変数分離して $\frac{2-y}{y}dy=\frac{x-1}{x}dx$、積分して $2\log y-y=x-\log x+C$、すなわち $H(x,y)=x-\log x+y-2\log y$ が一定。確認：$\frac{dH}{dt}=(1-\frac{1}{x})x(2-y)+(1-\frac{2}{y})y(x-1)=(x-1)(2-y)+(y-2)(x-1)=0$。

$y(t)$ の極値は $\frac{dy}{dt}=y(x-1)=0$ すなわち $x=1$ のときにとる（$y>0$）。$x=1$ で $H=1+y-2\log y$ なので、$Y_{\min }$, $Y_{\max }$ は $H$ の値が等しいことから $Y_{\min }-2\log Y_{\min }=Y_{\max }-2\log Y_{\max }$ を満たす（$g(y)=y-2\log y$ は $y=2$ で最小で、$Y_{\min }<2<Y_{\max }$）。

$Y_{\min }=m$, $Y_{\max }=2m$ とおくと $m-2\log m=2m-2\log (2m)=2m-2\log 2-2\log m$、よって $m=2\log 2$。

検算：$m=2\log 2\approx 1.386<2$, $Y_{\max }=4\log 2\approx 2.773>2$ で $Y_{\min }<2<Y_{\max }$ を満たす。$g(m)=2\log 2-2\log (2\log 2)$、$g(2m)=4\log 2-2\log (4\log 2)=4\log 2-4\log 2-2\log (2\log 2)\cdot$ ではなく直接計算すると $g(2m)=4\log 2-2\log 4-2\log \log 2=-2\log \log 2$、$g(m)=2\log 2-2\log 2-2\log \log 2=-2\log \log 2$ で一致する。