数理モデルの問題

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(3-y),\frac{dy}{dt}=y(2x-4)$$
に従って変化している。この方程式の解の軌道は保存量
$$H(x,y)=2x-4\log x+y-3\log y$$
の値が一定の閉曲線になる（平衡点 $(2,3)$ そのものではないとする）。ある軌道では、その軌道上での $y$ の最大値が $y$ の最小値のちょうど $3$ 倍であった。この軌道上での $y$ の最大値を求めよ。

正の値をとる関数 $x(t)$, $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(2-y),\frac{dy}{dt}=y(x-3)$$
に従っている。初期条件は $x(0)=1,y(0)=e$ である（$e$ は自然対数の底）。

定数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ を用いて
$$H(x,y)=x-\alpha \log x+\beta y-\gamma \log y$$
とおく。$H(x(t),y(t))$ がすべての解について $t$ によらず一定となるように $\alpha ,\beta ,\gamma$ を定めたとき、上の初期条件を満たす解の軌道上での $H$ の値を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(3-y),\frac{dy}{dt}=y(x-2)$$
に従っているとする。$x>0,y>0$ の範囲にある平衡点（$\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}=0$ となる点）を $(p,q)$ とする。また、定数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ を用いた関数
$$H(x,y)=x+\alpha y+\beta \log x+\gamma \log y$$
が、この方程式のどの解に沿っても時刻 $t$ によらず一定になるように、$\alpha ,\beta ,\gamma$ を定める。このとき、$H(1,1)-H(p,q)$ の値を求めよ。

被食者の個体数 $x(t)$ と捕食者の個体数 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(2-y),\frac{dy}{dt}=y(x-1)$$
に従うとする。初期値は $x(0)>0$, $y(0)>0$ であり、$(x(0),y(0))$ は平衡点ではないとする。このとき解の軌道は第 $1$ 象限内の閉曲線になり、$y(t)$ は周期的に変動して最大値 $Y_{\max }$ と最小値 $Y_{\min }$ をとる。

$Y_{\max }=2Y_{\min }$ となるような軌道について、$Y_{\min }$ の値を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(6-2y),\frac{dy}{dt}=y(x-2)$$
にしたがうとする。この方程式の保存量
$$H(x,y)=x-2\log x+2y-6\log y$$
は解に沿って一定である。また、平衡点 $(2,3)$ 以外から出発した解の軌道は、平衡点 $(2,3)$ を囲む閉曲線（周期軌道）になることを用いてよい。

ある周期軌道では、軌道上での $y$ の最大値 $Y_{\max }$ が最小値 $Y_{\min }$ のちょうど $3$ 倍であった。このときの $Y_{\max }$ を求めよ。