数理モデルの問題

手順 1：$H$ の時間微分を計算する。
合成関数の微分法より
$$\frac{d}{dt}H(x(t),y(t))=\left(1-\frac{\alpha }{x}\right)\frac{dx}{dt}+\left(\beta -\frac{\gamma }{y}\right)\frac{dy}{dt}.$$
方程式を代入すると
$$\frac{dH}{dt}=\left(1-\frac{\alpha }{x}\right)x(2-y)+\left(\beta -\frac{\gamma }{y}\right)y(x-3)=(x-\alpha )(2-y)+(\beta y-\gamma )(x-3).$$
展開して整理すると
$$\frac{dH}{dt}=(\beta -1)xy+(2-\gamma )x+(\alpha -3\beta )y+(3\gamma -2\alpha ).$$

手順 2：恒等的に $0$ となる条件を求める。
$x>0,y>0$ のどの点 $(x_0,y_0)$ も、その点を初期値とする解の $t=0$ での位置になっている。したがって「すべての解について $H$ が一定」であるためには、上の式が $x>0,y>0$ のすべての $(x,y)$ で $0$ でなければならない。

$x,y$ の多項式が開集合 $\{x>0,y>0\}$ 上でつねに $0$ ならば、その係数はすべて $0$ である（たとえば $y$ を固定すると $x$ の 1 次式が無数の $x$ で $0$ になるので $x$ の係数も定数項も $0$、さらにそれらが $y$ の 1 次式として無数の $y$ で $0$ になるので係数がすべて $0$）。よって
$$\beta -1=0,2-\gamma =0,\alpha -3\beta =0,3\gamma -2\alpha =0.$$
はじめの 3 式から $\beta =1,\gamma =2,\alpha =3$ と一意に定まり、このとき $3\gamma -2\alpha =6-6=0$ となって 4 番目の式も成り立つ。

逆に $\alpha =3,\beta =1,\gamma =2$ のとき $\frac{dH}{dt}=0$ がつねに成り立つので、$H$ はどの解についても一定である。したがって
$$H(x,y)=x-3\log x+y-2\log y.$$

（参考）$\log$ の係数 $3,2$ は、内部平衡点 $(x,y)=(3,2)$（$2-y=0,x-3=0$ の解）の座標に一致している。

手順 3：初期値を代入する。
$H$ は軌道上で一定なので、$t=0$ での値を計算すればよい。$\log 1=0,\log e=1$ より
$$H(1,e)=1-3\cdot 0+e-2\cdot 1=e-1.$$

したがって、軌道上での $H$ の値は $e-1$ である。

$H$ の時間微分を計算する。
$$\frac{dH}{dt}=\left(1-\frac{\alpha }{x}\right)x(2-y)+\left(\beta -\frac{\gamma }{y}\right)y(x-3)=(x-\alpha )(2-y)+(\beta y-\gamma )(x-3)$$
展開すると
$$2x-xy-2\alpha +\alpha y+\beta xy-3\beta y-\gamma x+3\gamma .$$
これが $x,y$ によらず 0 になる条件を係数ごとに調べる。
- $xy$ の係数: $-1+\beta =0$ より $\beta =1$
- $x$ の係数: $2-\gamma =0$ より $\gamma =2$
- $y$ の係数: $\alpha -3\beta =0$ より $\alpha =3$
- 定数項: $-2\alpha +3\gamma =-6+6=0$ で成立する。

よって $H=x-3\log x+y-2\log y$ である。

初期値 $(x,y)=(1,e)$ を代入する。
$$H=1-3\log 1+e-2\log e=1-0+e-2=e-1.$$

検算: $\alpha =3,\beta =1,\gamma =2$ を $(x-3)(2-y)+(y-2)(x-3)$ に代入すると、$(x-3)(2-y)+(y-2)(x-3)=(x-3)\{(2-y)+(y-2)\}=0$ となり、確かに $dH/dt=0$ である。