数理モデルの問題

手順 1: 平衡点と保存量を求める。

$x>0,y>0$ で $\frac{dx}{dt}=0,\frac{dy}{dt}=0$ となるのは $6-3y=0,2x-5=0$ のときなので、内部平衡点は $\left(\frac{5}{2},2\right)$ である。

次に、軌道上で $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{y(2x-5)}{x(6-3y)}$ を変数分離すると
$$\frac{6-3y}{y}dy=\frac{2x-5}{x}dx.$$
両辺を積分して $6\log y-3y=2x-5\log x+C$（$C$ は定数）となる。よって
$$H(x,y)=2x-5\log x+3y-6\log y$$
は各軌道上で一定の値をとる（保存量）。

手順 2: $y$ が最大・最小となる点の $x$ 座標を決める。

周期関数 $y(t)$ が最大値・最小値をとる時刻では $\frac{dy}{dt}=0$ である。$y>0$ なので $2x-5=0$、すなわち $x=\frac{5}{2}$（平衡点の $x$ 座標）である。したがって、軌道上の 2 点 $\left(\frac{5}{2},Y_{\max }\right)$ と $\left(\frac{5}{2},Y_{\min }\right)$ で $y$ が最大・最小になる。

（補足: $x=\frac{5}{2}$ を固定すると $H$ の $y$ を含む部分 $g(y)=3y-6\log y$ は $g^{\prime }(y)=3-\frac{6}{y}$ より $y=2$ で最小となる下に凸な関数なので、$g(y)=k$ を満たす $y$ は $y<2$ と $y>2$ に 1 つずつあり、それが $Y_{\min }$ と $Y_{\max }$ である。）

手順 3: 保存量の等式から $y$ の方程式を立てて解く。

2 点は同じ軌道上にあるので $H\left(\frac{5}{2},Y_{\max }\right)=H\left(\frac{5}{2},Y_{\min }\right)$。$x$ の部分は共通なので打ち消し合い、
$$3Y_{\max }-6\log Y_{\max }=3Y_{\min }-6\log Y_{\min }.$$
整理すると
$$3(Y_{\max }-Y_{\min })=6\log \frac{Y_{\max }}{Y_{\min }}.$$
$Y_{\max }=3Y_{\min }$ を代入すると $\frac{Y_{\max }}{Y_{\min }}=3$ なので
$$3\cdot 2Y_{\min }=6\log 3⟹Y_{\min }=\log 3.$$
よって $Y_{\max }=3Y_{\min }=3\log 3$。

（確認: $Y_{\min }=\log 3\approx 1.10<2<Y_{\max }\approx 3.30$ であり、平衡点の $y$ 座標 $2$ をはさんでいるので矛盾はない。）

答え: $Y_{\max }=3\log 3$

平衡点は内部で $(x,y)=(5/2,2)$ である。

保存量として $H(x,y)=2x-5\log x+3y-6\log y$ をとる。これが保存量であることは次のように確かめられる。
$\frac{dH}{dt}=(2-\frac{5}{x})x(6-3y)+(3-\frac{6}{y})y(2x-5)=(2x-5)(6-3y)+(3y-6)(2x-5)=0$。

$y(t)$ が極値をとるのは $dy/dt=0$ のときである。$y>0$ なので $x=5/2$ となる。
この $x$ での $H$ は、軌道上で一定の値 $H$ に等しい。
$H=5-5\log \frac{5}{2}+3y-6\log y$ より、$Y_{\min },Y_{\max }$ はともに $y-2\log y=c$（定数）を満たす。

したがって $Y_{\min }=m$、$Y_{\max }=3m$ とおくと、
$m-2\log m=3m-2\log (3m)$。
整理すると $2m=2\log 3$ となり、$m=\log 3$。

よって $Y_{\max }=3\log 3$ である。

検算として、$m=\log 3\approx 1.0986<2<3.296\approx 3\log 3$ で、平衡点の $y=2$ をはさんでいる。
左辺は $1.0986-2\log (1.0986)=1.0986-0.1881=0.9105$、右辺は $3.2958-2\log (3.2958)=3.2958-2.3853=0.9105$ で一致する。