保存量を使った周期軌道上の最大・最小

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(3-y),\frac{dy}{dt}=y(2x-4)$$
に従って変化している。この方程式の解の軌道は保存量
$$H(x,y)=2x-4\log x+y-3\log y$$
の値が一定の閉曲線になる（平衡点 $(2,3)$ そのものではないとする）。ある軌道では、その軌道上での $y$ の最大値が $y$ の最小値のちょうど $3$ 倍であった。この軌道上での $y$ の最大値を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(6-2y),\frac{dy}{dt}=y(x-2)$$
にしたがうとする。この方程式の保存量
$$H(x,y)=x-2\log x+2y-6\log y$$
は解に沿って一定である。また、平衡点 $(2,3)$ 以外から出発した解の軌道は、平衡点 $(2,3)$ を囲む閉曲線（周期軌道）になることを用いてよい。

ある周期軌道では、軌道上での $y$ の最大値 $Y_{\max }$ が最小値 $Y_{\min }$ のちょうど $3$ 倍であった。このときの $Y_{\max }$ を求めよ。

$t$ を実数の時刻とし、正の値をとる関数 $x(t),y(t)$ が連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(6-3y),\frac{dy}{dt}=y(2x-5)$$
に従うとする。この方程式の解の軌道（平衡点以外）は、$xy$ 平面上で内部平衡点のまわりを回る閉曲線になり、$x(t),y(t)$ は周期関数になることが知られている。

ある解について、$y(t)$ の最大値を $Y_{\max }$、最小値を $Y_{\min }$ とすると $Y_{\max }=3Y_{\min }$ が成り立った。このとき $Y_{\max }$ の値を求めよ。

被食者の個体数 $x(t)$ と捕食者の個体数 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(2-y),\frac{dy}{dt}=y(x-1)$$
に従うとする。初期値は $x(0)>0$, $y(0)>0$ であり、$(x(0),y(0))$ は平衡点ではないとする。このとき解の軌道は第 $1$ 象限内の閉曲線になり、$y(t)$ は周期的に変動して最大値 $Y_{\max }$ と最小値 $Y_{\min }$ をとる。

$Y_{\max }=2Y_{\min }$ となるような軌道について、$Y_{\min }$ の値を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(a-by),\frac{dy}{dt}=y(cx-d)$$
にしたがうとする。ここで $a,b,c,d$ は正の定数であるが、その値はわかっていない。

ある観測で、解 $(x(t),y(t))$ はつねに $x(t)>0,y(t)>0$ を満たし、定数でない周期 $T(>0)$ の周期解であった。また、1 周期の間に $x(t)$ がとる最小値は $2$、最大値は $8$ であった。

このとき、被食者の個体数密度の 1 周期にわたる時間平均
$$\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)dt$$
を求めよ。

$t$ を時間とし、$x(t)>0,y(t)>0$ に対する連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(4-2y),\frac{dy}{dt}=y(x-3)$$
を考える。初期条件 $x(0)=3,y(0)=2\log 2$ を満たす解は周期解であり、その軌道は第 1 象限内の閉曲線になる。この軌道上での $y$ の最大値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(4-2y),\frac{dy}{dt}=y(3x-6)$$
に従って変化している。初期値は $x(0)>0$, $y(0)>0$ で、解は正の平衡点ではないとする。このとき解はすべての時刻で $x>0,y>0$ を保ち、相平面 $xy$ 上で正の平衡点を囲む閉曲線を周期的に描くことが知られている。

ある解について、被食者の個体数密度 $x(t)$ の最大値が最小値のちょうど $3$ 倍であった。この解における $x(t)$ の最大値を求めよ。