数理モデルの問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学数理モデル

$t$ を時間とし、 $x (t) > 0, y (t) > 0$ に対する連立微分方程式
$\frac{d x}{d t} = x (4 - 2 y), \frac{d y}{d t} = y (x - 3)$
を考える。初期条件 $x (0) = 3, y (0) = 2 lo g 2$ を満たす解は周期解であり、その軌道は第 1 象限内の閉曲線になる。この軌道上での $y$ の最大値を求めよ。ただし $lo g$ は自然対数とする。

この問題で使うもの

ロトカ・ヴォルテラ方程式の平衡点と保存量（説明と入口の問題）
保存量を使った周期軌道上の最大・最小（説明と入口の問題）
増減表と極値（説明と入口の問題）
対数の定義と性質（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（56 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

解の軌道に沿って一定になる量（保存量）を求め、軌道をその等高線として表しましょう。

ヒント 2

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ( x - 3 )}{x ( 4 - 2 y )}$ を変数分離すると $H (x, y) = x - 3 lo g x + 2 y - 4 lo g y$ が一定になります。 $y$ が最大の点では $\frac{d y}{d t} = 0$ なので $x = 3$ です。

ヒント 3

$x = 3$ では $y - 2 lo g y$ が初期点 $y = 2 lo g 2$ と同じ値になります。 $y_{2} = t y_{1}$ とおいて $y_{1} (t - 1) = 2 lo g t$ を満たす組を探すと、 $t = 2$ が当てはまります。

答えと解説

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4 lo g 2

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解説を読む

平衡点 $x > 0, y > 0$ で $\frac{d x}{d t} = \frac{d y}{d t} = 0$ となるのは $4 - 2 y = 0, x - 3 = 0$ のときで、平衡点は $(3, 2)$ である。

保存量 2 式から
$\frac{x - 3}{x} \frac{d x}{d t} = (x - 3) (4 - 2 y) = \frac{4 - 2 y}{y} \frac{d y}{d t}$
が成り立つので、
$\frac{d}{d t} [(x - 3 lo g x) - (4 lo g y - 2 y)] = 0$
である。したがって
$H (x, y) = x - 3 lo g x + 2 y - 4 lo g y$
は解に沿って一定（保存量）である。 $H$ は $x$ について $x = 3$ で、 $y$ について $y = 2$ で最小となる凸関数の和で、等高線 $H = c$ （ $c > H (3, 2)$ ）は平衡点を囲む閉曲線になる。

$y$ が最大になる点 閉曲線上で $y$ が最大になる点では $\frac{d y}{d t} = y (x - 3) = 0$ 、 $y > 0$ より $x = 3$ である。直線 $x = 3$ 上では
$H (3, y) = 3 - 3 lo g 3 + 2 (y - 2 lo g y)$
なので、軌道と直線 $x = 3$ の交点の $y$ 座標は $g (y) = y - 2 lo g y$ の値が初期点と等しいものである。

初期点 $y_{0} = 2 lo g 2$ では $g (y_{0}) = 2 lo g 2 - 2 lo g (2 lo g 2)$ 。

$g^{'} (y) = 1 - \frac{2}{y}$ より $g$ は $0 < y < 2$ で減少、 $y > 2$ で増加するので、 $g (y) = g (y_{0})$ の解はちょうど 2 つあり、1 つは $y_{0} = 2 lo g 2 (< 2)$ 、もう 1 つは $y > 2$ の範囲にある。

$y = 4 lo g 2$ を代入すると
$g (4 lo g 2) = 4 lo g 2 - 2 lo g (4 lo g 2) = 4 lo g 2 - 2 lo g 2 - 2 lo g (2 lo g 2) = 2 lo g 2 - 2 lo g (2 lo g 2) = g (y_{0})$
で、 $4 lo g 2 \approx 2.77 > 2$ なのでこれがもう 1 つの解である。

軌道上の $x = 3$ の点は $(3, 2 lo g 2)$ と $(3, 4 lo g 2)$ の 2 点で、 $y$ の最大値はその大きいほうの $4 lo g 2$ である。

別解

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ( x - 3 )}{x ( 4 - 2 y )}$ より変数分離して $\frac{4 - 2 y}{y} d y = \frac{x - 3}{x} d x$ 。積分すると $4 lo g y - 2 y = x - 3 lo g x + C$ 。よって $H (x, y) = x - 3 lo g x + 2 y - 4 lo g y$ は保存量（軌道上で一定）。

平衡点は $(x, y) = (3, 2)$ 。初期点 $(3, 2 lo g 2)$ は $x = 3$ 上にあり、 $y_{0} = 2 lo g 2 \approx 1.386 < 2$ 。

$y$ が極値をとるのは $d y / d t = 0$ 、すなわち $x = 3$ （ $y > 0$ なので）のとき。軌道は平衡点 $(3, 2)$ のまわりを回る閉曲線で、直線 $x = 3$ とちょうど 2 点で交わる。 $y < 2$ の交点が $y$ の最小、 $y > 2$ の交点が最大である。初期点は $y < 2$ 側なので最小点であり、最大値は $x = 3$ 上のもう 1 つの解である。

$x = 3$ で $H$ が等しい条件は $2 y - 4 lo g y = 2 y_{0} - 4 lo g y_{0}$ 、つまり $y - 2 lo g y = y_{0} - 2 lo g y_{0}$ 。 $y_{0} = 2 lo g 2$ とすると右辺は $2 lo g 2 - 2 lo g (2 lo g 2) = - 2 lo g lo g 2$ 。

$y = 4 lo g 2$ を代入すると左辺は $4 lo g 2 - 2 lo g (4 lo g 2) = 4 lo g 2 - 4 lo g 2 - 2 lo g lo g 2 = - 2 lo g lo g 2$ となり一致する。 $4 lo g 2 \approx 2.77 > 2$ で、 $y_{0} \approx 1.386$ とは異なる。関数 $y - 2 lo g y$ は $y = 2$ で最小をとり、 $(0, 2)$ で減少、 $(2, \infty)$ で増加するので、 $y > 2$ の解は 1 つだけであり、これが最大値。

以上より $y_{m a x} = 4 lo g 2$ 。

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