数理モデルの問題

被食者の個体数 $x(t)$ と捕食者の個体数 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(2-y),\frac{dy}{dt}=y(x-1)$$
に従うとする。初期値は $x(0)>0$, $y(0)>0$ であり、$(x(0),y(0))$ は平衡点ではないとする。このとき解の軌道は第 $1$ 象限内の閉曲線になり、$y(t)$ は周期的に変動して最大値 $Y_{\max }$ と最小値 $Y_{\min }$ をとる。

$Y_{\max }=2Y_{\min }$ となるような軌道について、$Y_{\min }$ の値を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(a-y),\frac{dy}{dt}=y(x-2)$$
に従うとする。ここで $a$ は正の定数である。この方程式のある解 $(x(t),y(t))$ が、ある時刻に点 $(1,1)$ を通り、別のある時刻に点 $(1,e)$ を通った（$e$ は自然対数の底）。この解は周期 $T>0$ の周期解であることが知られている。このとき、捕食者の個体数密度の 1 周期にわたる時間平均
$$\frac{1}{T}{\int }_0^{T}y(t)dt$$
を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(a-by),\frac{dy}{dt}=y(cx-d)$$
にしたがうとする。ここで $a,b,c,d$ は正の定数であるが、その値はわかっていない。

ある観測で、解 $(x(t),y(t))$ はつねに $x(t)>0,y(t)>0$ を満たし、定数でない周期 $T(>0)$ の周期解であった。また、1 周期の間に $x(t)$ がとる最小値は $2$、最大値は $8$ であった。

このとき、被食者の個体数密度の 1 周期にわたる時間平均
$$\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)dt$$
を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(3-y),\frac{dy}{dt}=y(2x-4)$$
に従って変化している。この方程式の解の軌道は保存量
$$H(x,y)=2x-4\log x+y-3\log y$$
の値が一定の閉曲線になる（平衡点 $(2,3)$ そのものではないとする）。ある軌道では、その軌道上での $y$ の最大値が $y$ の最小値のちょうど $3$ 倍であった。この軌道上での $y$ の最大値を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(6-2y),\frac{dy}{dt}=y(x-4)$$
にしたがい、初期値は $x(0)=1$, $y(0)=1$ であるとする。このとき解は $x>0$, $y>0$ の範囲にとどまり、ある周期 $T>0$ をもつ周期解になることが知られている。1 周期にわたる時間平均
$$\bar{x}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)dt,\bar{y}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}y(t)dt$$
の組 $(\bar{x},\bar{y})$ をこの順に求めよ。