ロトカ・ヴォルテラ方程式の平衡点と保存量

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(3-y),\frac{dy}{dt}=y(x-2)$$
に従っているとする。$x>0,y>0$ の範囲にある平衡点（$\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}=0$ となる点）を $(p,q)$ とする。また、定数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ を用いた関数
$$H(x,y)=x+\alpha y+\beta \log x+\gamma \log y$$
が、この方程式のどの解に沿っても時刻 $t$ によらず一定になるように、$\alpha ,\beta ,\gamma$ を定める。このとき、$H(1,1)-H(p,q)$ の値を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(2-y),\frac{dy}{dt}=y(x-3)$$
に従って変化している。初期条件は $x(0)=1,y(0)=2$ である。

この方程式の解の軌道上では、ある正の整数 $p,q$ について
$$x^p{y}^q{e}^{-(x+y)}$$
が時刻によらず一定の値をとる。この一定の値を求めよ。

正の値をとる関数 $x(t)$, $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(2-y),\frac{dy}{dt}=y(x-3)$$
に従っている。初期条件は $x(0)=1,y(0)=e$ である（$e$ は自然対数の底）。

定数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ を用いて
$$H(x,y)=x-\alpha \log x+\beta y-\gamma \log y$$
とおく。$H(x(t),y(t))$ がすべての解について $t$ によらず一定となるように $\alpha ,\beta ,\gamma$ を定めたとき、上の初期条件を満たす解の軌道上での $H$ の値を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(6-2y),\frac{dy}{dt}=y(x-4)$$
にしたがい、初期値は $x(0)=1$, $y(0)=1$ であるとする。このとき解は $x>0$, $y>0$ の範囲にとどまり、ある周期 $T>0$ をもつ周期解になることが知られている。1 周期にわたる時間平均
$$\bar{x}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)dt,\bar{y}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}y(t)dt$$
の組 $(\bar{x},\bar{y})$ をこの順に求めよ。

正の定数 $a,b,c,d$ に対し、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$x^{\prime }(t)=x(t)(a-by(t)),y^{\prime }(t)=y(t)(-c+dx(t))$$
を考える。$D=\{(x,y)\mid x>0,y>0\}$ とし、$D$ 上の関数
$$V(x,y)=dx-c\log x+by-a\log y$$
を定める。また $p=\frac{c}{d},q=\frac{a}{b}$ とおく。

区間 $J$ 上で定義された微分可能な解 $(x(t),y(t))$ で、すべての $t\in J$ について $(x(t),y(t))\in D$ を満たすものを考える。このとき、$V(x(t),y(t))$ は $t\in J$ によらず一定であり、さらに $D$ 上で $V(x,y)\ge V(p,q)$ が成り立ち、等号は $(x,y)=(p,q)$ のときに限ることを証明せよ。

被食者の個体数 $x(t)$ と捕食者の個体数 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(2-y),\frac{dy}{dt}=y(x-1)$$
に従うとする。初期値は $x(0)>0$, $y(0)>0$ であり、$(x(0),y(0))$ は平衡点ではないとする。このとき解の軌道は第 $1$ 象限内の閉曲線になり、$y(t)$ は周期的に変動して最大値 $Y_{\max }$ と最小値 $Y_{\min }$ をとる。

$Y_{\max }=2Y_{\min }$ となるような軌道について、$Y_{\min }$ の値を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(a-by),\frac{dy}{dt}=y(cx-d)$$
にしたがうとする。ここで $a,b,c,d$ は正の定数であるが、その値はわかっていない。

ある観測で、解 $(x(t),y(t))$ はつねに $x(t)>0,y(t)>0$ を満たし、定数でない周期 $T(>0)$ の周期解であった。また、1 周期の間に $x(t)$ がとる最小値は $2$、最大値は $8$ であった。

このとき、被食者の個体数密度の 1 周期にわたる時間平均
$$\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)dt$$
を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(a-y),\frac{dy}{dt}=y(x-2)$$
に従うとする。ここで $a$ は正の定数である。この方程式のある解 $(x(t),y(t))$ が、ある時刻に点 $(1,1)$ を通り、別のある時刻に点 $(1,e)$ を通った（$e$ は自然対数の底）。この解は周期 $T>0$ の周期解であることが知られている。このとき、捕食者の個体数密度の 1 周期にわたる時間平均
$$\frac{1}{T}{\int }_0^{T}y(t)dt$$
を求めよ。

$t$ を時間とし、$x(t)>0,y(t)>0$ に対する連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(4-2y),\frac{dy}{dt}=y(x-3)$$
を考える。初期条件 $x(0)=3,y(0)=2\log 2$ を満たす解は周期解であり、その軌道は第 1 象限内の閉曲線になる。この軌道上での $y$ の最大値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(4-2y),\frac{dy}{dt}=y(3x-6)$$
に従って変化している。初期値は $x(0)>0$, $y(0)>0$ で、解は正の平衡点ではないとする。このとき解はすべての時刻で $x>0,y>0$ を保ち、相平面 $xy$ 上で正の平衡点を囲む閉曲線を周期的に描くことが知られている。

ある解について、被食者の個体数密度 $x(t)$ の最大値が最小値のちょうど $3$ 倍であった。この解における $x(t)$ の最大値を求めよ。

ある海域の被食者（小魚）の個体数密度を $x(t)$、捕食者（大型魚）の個体数密度を $y(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）とする。漁業によって両者が同じ割合で取り除かれるとして、$x(t)$, $y(t)$ が連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(5-2y)-x,\frac{dy}{dt}=y(3x-6)-y$$
に従い、初期値は $x(0)=1$, $y(0)=1$ であるとする。この解は正の周期 $T$ をもつ周期解になる。1 周期にわたる時間平均
$$\bar{x}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)dt,\bar{y}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}y(t)dt,\overline{xy}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)y(t)dt$$
を、この順に組 $\left(\bar{x},\bar{y},\overline{xy}\right)$ で求めよ。