数理モデルの問題

正の値をとる関数 $x(t)$, $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(2-y),\frac{dy}{dt}=y(x-3)$$
に従っている。初期条件は $x(0)=1,y(0)=e$ である（$e$ は自然対数の底）。

定数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ を用いて
$$H(x,y)=x-\alpha \log x+\beta y-\gamma \log y$$
とおく。$H(x(t),y(t))$ がすべての解について $t$ によらず一定となるように $\alpha ,\beta ,\gamma$ を定めたとき、上の初期条件を満たす解の軌道上での $H$ の値を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(6-2y),\frac{dy}{dt}=y(x-4)$$
にしたがい、初期値は $x(0)=1$, $y(0)=1$ であるとする。このとき解は $x>0$, $y>0$ の範囲にとどまり、ある周期 $T>0$ をもつ周期解になることが知られている。1 周期にわたる時間平均
$$\bar{x}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)dt,\bar{y}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}y(t)dt$$
の組 $(\bar{x},\bar{y})$ をこの順に求めよ。

同じ資源を奪い合う 2 種の生物の個体数密度を $x(t)$, $y(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、$x\geqq 0$, $y\geqq 0$）とする。それぞれがロジスティック成長をし、さらに互いの成長を妨げ合うとして、$x(t)$, $y(t)$ が競争系のロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(4-2x-y),\frac{dy}{dt}=y(3-x-y)$$
にしたがうとする。領域 $x\geqq 0$, $y\geqq 0$ にある平衡点のうち、漸近安定なものはただ 1 つである。その平衡点の座標 $(x,y)$ を求めよ。

正の定数 $N,\beta ,\gamma$ に対し、SIR モデル
$$S^{\prime }(t)=-\frac{\beta }{N}S(t)I(t),I^{\prime }(t)=\frac{\beta }{N}S(t)I(t)-\gamma I(t),R^{\prime }(t)=\gamma I(t)$$
を初期条件 $S(0)=S_0,I(0)=I_0,R(0)=0$（ただし $S_0>0,I_0>0,S_0+I_0=N$）のもとで考え、基本再生産数を $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ とおく。

この初期値問題の解 $(S(t),I(t),R(t))$ が $t\ge 0$ で一意に存在して $C^1$ 級であり、すべての $t\ge 0$ で $S(t)>0,I(t)>0$ であることは用いてよい。

このとき、極限 $S_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$ が存在して
$$0<S_{\infty }<\frac{N}{R_0}$$
を満たすことを証明せよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(a-by),\frac{dy}{dt}=y(cx-d)$$
にしたがうとする。ここで $a,b,c,d$ は正の定数であるが、その値はわかっていない。

ある観測で、解 $(x(t),y(t))$ はつねに $x(t)>0,y(t)>0$ を満たし、定数でない周期 $T(>0)$ の周期解であった。また、1 周期の間に $x(t)$ がとる最小値は $2$、最大値は $8$ であった。

このとき、被食者の個体数密度の 1 周期にわたる時間平均
$$\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)dt$$
を求めよ。