数理モデルの問題

同じ資源をめぐって競争する 2 種の生物の個体数密度を $x(t),y(t)$（$t$ は時刻、$x\geqq 0,y\geqq 0$）とする。これらが、ロジスティック方程式に種間競争の項を加えた競争モデル
$$\frac{dx}{dt}=x(6-2x-y),\frac{dy}{dt}=y(5-x-2y)$$
に従うとする。

領域 $x\geqq 0,y\geqq 0$ にあるこの系の平衡点をすべて求め、各平衡点でのヤコビ行列の固有値を調べると、線形化によって漸近安定と判定される平衡点がちょうど 1 つある。その平衡点におけるヤコビ行列の固有値の集合を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(6-2y),\frac{dy}{dt}=y(x-4)$$
にしたがい、初期値は $x(0)=1$, $y(0)=1$ であるとする。このとき解は $x>0$, $y>0$ の範囲にとどまり、ある周期 $T>0$ をもつ周期解になることが知られている。1 周期にわたる時間平均
$$\bar{x}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)dt,\bar{y}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}y(t)dt$$
の組 $(\bar{x},\bar{y})$ をこの順に求めよ。

ある魚の個体数（単位: 千匹）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに毎年一定量が漁獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x\left(1-\frac{x}{12}\right)-\frac{5}{3}$$
に従うとする（$x\geqq 0$ の範囲で考える）。

$f(x)=x\left(1-\frac{x}{12}\right)-\frac{5}{3}$ とおく。この微分方程式の平衡点（$f(x^{\ast })=0$ を満たす $x^{\ast }$）のうち、線形化による判定で漸近安定であるものを $x^{\ast }$ とするとき、$x^{\ast }$ と $f^{\prime }(x^{\ast })$ の値をこの順に組 $(x^{\ast },f^{\prime }(x^{\ast }))$ で求めよ。

ある動物の個体数密度を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）とする。個体数が少なすぎると繁殖相手が見つかりにくくなる効果（アリー効果）を取り入れて、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{20}x(x-2)(10-x)$$
に従うとする。ここで $x$ は 0 以上の実数とする。

この微分方程式の $x\geqq 0$ における平衡点のうち、漸近安定なものをすべて求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(3-y),\frac{dy}{dt}=y(2x-4)$$
に従って変化している。この方程式の解の軌道は保存量
$$H(x,y)=2x-4\log x+y-3\log y$$
の値が一定の閉曲線になる（平衡点 $(2,3)$ そのものではないとする）。ある軌道では、その軌道上での $y$ の最大値が $y$ の最小値のちょうど $3$ 倍であった。この軌道上での $y$ の最大値を求めよ。