数理モデルの問題

ある細胞内のタンパク質の濃度を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、$x(t)$ は実数値をとる）とし、その時間変化が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=-x^3+6x^2-11x+6$$
で表されるとする。この微分方程式の平衡点のうち、漸近安定なものをすべて求めよ。

実数値をとる量 $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）が、自励系の微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=-x^3+3x^2+x-3$$
に従って変化するとする。この微分方程式の平衡点のうち、線形安定性解析によって漸近安定と判定されるものをすべて求めよ。

ある魚の個体数（単位: 千匹）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに毎年一定量が漁獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x\left(1-\frac{x}{12}\right)-\frac{5}{3}$$
に従うとする（$x\geqq 0$ の範囲で考える）。

$f(x)=x\left(1-\frac{x}{12}\right)-\frac{5}{3}$ とおく。この微分方程式の平衡点（$f(x^{\ast })=0$ を満たす $x^{\ast }$）のうち、線形化による判定で漸近安定であるものを $x^{\ast }$ とするとき、$x^{\ast }$ と $f^{\prime }(x^{\ast })$ の値をこの順に組 $(x^{\ast },f^{\prime }(x^{\ast }))$ で求めよ。

同じ資源を奪い合う 2 種の生物の個体数密度を $x(t)$, $y(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、$x\geqq 0$, $y\geqq 0$）とする。それぞれがロジスティック成長をし、さらに互いの成長を妨げ合うとして、$x(t)$, $y(t)$ が競争系のロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(4-2x-y),\frac{dy}{dt}=y(3-x-y)$$
にしたがうとする。領域 $x\geqq 0$, $y\geqq 0$ にある平衡点のうち、漸近安定なものはただ 1 つである。その平衡点の座標 $(x,y)$ を求めよ。

ある湖の魚の個体数（単位: 千匹）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに個体数に比例する割合で漁獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{4}{5}x\left(1-\frac{x}{500}\right)-Ex$$
に従うとする。ここで $E$ は漁獲の強さを表す定数で、$0<E<\frac{4}{5}$ とする。この方程式の正の平衡点 $x^{\ast }$ は安定であり、個体数が $x^{\ast }$ に落ち着いたときの 1 年あたりの漁獲量は $Y(E)=E{x}^{\ast }$ である。$Y(E)$ を最大にする $E$ の値と、そのときの $Y(E)$ の値を、この順に組 $(E,Y)$ で求めよ。