数理モデルの問題

$f(x)=-x^3+6x^2-11x+6$ とおく。

手順 1：平衡点を求める。 平衡点は $f(x^{\ast })=0$ を満たす $x^{\ast }$ である。
$f(1)=-1+6-11+6=0$ なので、因数定理より $f(x)$ は $x-1$ で割り切れる。割り算をすると
$$f(x)=-(x-1)(x^2-5x+6)=-(x-1)(x-2)(x-3)$$
となる。よって平衡点は $x^{\ast }=1,2,3$ の 3 つである。

手順 2：$f^{\prime }(x)$ を求める。
$$f^{\prime }(x)=-3x^2+12x-11$$

手順 3：各平衡点で $f^{\prime }(x^{\ast })$ の符号を調べる。
- $f^{\prime }(1)=-3+12-11=-2<0$ なので、$x^{\ast }=1$ は漸近安定。
- $f^{\prime }(2)=-12+24-11=1>0$ なので、$x^{\ast }=2$ は不安定。
- $f^{\prime }(3)=-27+36-11=-2<0$ なので、$x^{\ast }=3$ は漸近安定。

（確認：$f(x)=-(x-1)(x-2)(x-3)$ の符号は $x<1$ で正、$1<x<2$ で負、$2<x<3$ で正、$x>3$ で負であり、$x=1,3$ には両側から近づき、$x=2$ からは離れることとも一致する。）

したがって、漸近安定な平衡点は $x^{\ast }=1,3$ である。

右辺を $f(x)=-x^3+6x^2-11x+6=-(x^3-6x^2+11x-6)=-(x-1)(x-2)(x-3)$ と因数分解する（$x=1$ を代入すると $1-6+11-6=0$ より $x-1$ で割り切れ、商は $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$）。
平衡点は $f(x)=0$ の解で、$x=1,2,3$。
導関数は $f^{\prime }(x)=-3x^2+12x-11$。
- $x=1$: $f^{\prime }(1)=-3+12-11=-2<0$ なので漸近安定。
- $x=2$: $f^{\prime }(2)=-12+24-11=1>0$ なので不安定。
- $x=3$: $f^{\prime }(3)=-27+36-11=-2<0$ なので漸近安定。
符号による確認: $x<1$ では $f>0$（例 $x=0$ で $f=6$）、$1<x<2$ では $f<0$（$x=1.5$ で $-(0.5)(-0.5)(-1.5)=-0.375$）、$2<x<3$ では $f>0$、$x>3$ では $f<0$。したがって 1 の近傍では両側から 1 に向かい、2 では両側から離れ、3 では両側から 3 に向かう。よって漸近安定な平衡点は $x=1,3$。