数理モデルの問題

手順 1：平衡点を求める。
$f(x,y)=2-(b+1)x+x^{2}y$, $g(x,y)=bx-x^{2}y$ とおく。
$g=0$ より $x(b-xy)=0$ で、$x>0$ なので $xy=b$。これを $f=0$ に代入すると
$$2-(b+1)x+x\cdot xy=2-(b+1)x+bx=2-x=0$$
より $x=2$、したがって $y=\frac{b}{2}$。平衡点は $\left(2,\frac{b}{2}\right)$ である。

手順 2：ヤコビ行列を求める。
偏導関数は
$$f_x=-(b+1)+2xy,f_y=x^2,g_x=b-2xy,g_y=-x^2.$$
平衡点では $xy=b$, $x^2=4$ なので
$$J=\left(\begin{array}{cc}-(b+1)+2b& 4\\ b-2b& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}b-1& 4\\ -b& -4\end{array}\right).$$

手順 3：トレースと行列式を計算する。
$$\mathrm{tr}J=(b-1)+(-4)=b-5,$$
$$\det J=(b-1)(-4)-4\cdot (-b)=-4b+4+4b=4.$$
特性方程式は ${\lambda }^2-(\mathrm{tr}J)\lambda +\det J=0$、すなわち
$${\lambda }^2-(b-5)\lambda +4=0.$$

手順 4：純虚数の固有値になる条件を求める。
固有値が $\pm i\omega$（$\omega >0$）となるのは、$\mathrm{tr}J=0$ かつ $\det J>0$ のときである。$\det J=4>0$ はつねに成り立つので、$b-5=0$ より $b=5$。このとき特性方程式は ${\lambda }^2+4=0$ となり、$\lambda =\pm 2i$。よって $\omega =\sqrt{\det J}=2$。

（参考：$\det J>0$ なので、$b<5$ では $\mathrm{tr}J<0$ で平衡点は漸近安定、$b>5$ では $\mathrm{tr}J>0$ で不安定となり、$b=5$ がその境目である。）

答えは $(b,\omega )=(5,2)$。

平衡点を求める。$dy/dt=0$ より $x^{2}y=bx$、すなわち $y=b/x$（$x>0$）。これを $dx/dt=0$ に代入すると $2-(b+1)x+bx=2-x=0$ より $x=2$、$y=b/2$。よって平衡点は $(2,b/2)$ のただ 1 つである。

ヤコビ行列は $f=2-(b+1)x+x^{2}y$, $g=bx-x^{2}y$ に対し
$f_x=-(b+1)+2xy$, $f_y=x^2$, $g_x=b-2xy$, $g_y=-x^2$。
$x=2,y=b/2$ では $2xy=2b$, $x^2=4$ なので
$J=\left(\begin{array}{cc}b-1& 4\\ -b& -4\end{array}\right)$。

トレースは $b-1-4=b-5$、行列式は $-4(b-1)+4b=4$。
固有値が純虚数 $\pm i\omega$ となる条件は、トレース $=0$ かつ行列式 $>0$。
$b-5=0$ より $b=5$。このとき行列式は $4>0$ で、固有方程式は ${\lambda }^2+4=0$ となり $\lambda =\pm 2i$、$\omega =2$。

検算: $b=5$ のとき $J=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ -5& -4\end{array}\right)$。トレース $0$、行列式 $-16+20=4$。よって ${\lambda }^2+4=0$ で一致する。