数理モデルの問題

手順 1：平衡点を求める。
平衡点では $\frac{dx}{dt}=0,\frac{dy}{dt}=0$ である。2 式を足すと
$$3-(b+1)x+x^{2}y+bx-x^{2}y=3-x=0$$
より $x=3$。これを $bx-x^{2}y=0$ に代入すると $3b-9y=0$ より $y=\frac{b}{3}$。よって平衡点は $\left(3,\frac{b}{3}\right)$ である（$b>0$ なので $y>0$）。

手順 2：ヤコビ行列を求める。
$f(x,y)=3-(b+1)x+x^{2}y,g(x,y)=bx-x^{2}y$ とおくと
$$f_x=-(b+1)+2xy,f_y=x^2,g_x=b-2xy,g_y=-x^2.$$
平衡点では $xy=3\cdot \frac{b}{3}=b,x^2=9$ なので
$$f_x=-(b+1)+2b=b-1,f_y=9,g_x=b-2b=-b,g_y=-9.$$
よってヤコビ行列は
$$J=\left(\begin{array}{cc}b-1& 9\\ -b& -9\end{array}\right).$$

手順 3：トレースと行列式から固有値を調べる。
$$\mathrm{tr}J=(b-1)+(-9)=b-10,\det J=(b-1)(-9)-9\cdot (-b)=-9b+9+9b=9.$$
特性方程式は ${\lambda }^2-(\mathrm{tr}J)\lambda +\det J=0$、すなわち
$${\lambda }^2-(b-10)\lambda +9=0.$$
固有値が純虚数 $\pm i\omega$ になるのは、$\mathrm{tr}J=0$ かつ $\det J>0$ のときである。$\det J=9>0$ は常に成り立つので、$b-10=0$ より $b=10$。このとき特性方程式は ${\lambda }^2+9=0$ で、$\lambda =\pm 3i$、つまり $\omega =\sqrt{\det J}=3$。

（参考：$\det J>0$ なので、$0<b<10$ なら $\mathrm{tr}J<0$ で固有値の実部が負となり平衡点は漸近安定、$b>10$ なら実部が正で不安定である。$b=10$ はその境目である。）

したがって $(b,\omega )=(10,3)$。

これはブラッセレーター（パラメータ a=3）の系である。

平衡点：dx/dt=0 と dy/dt=0 を足すと 3-x=0 より x=3。dy/dt=0 より bx=x^2y なので y=b/x=b/3。よって平衡点は (3, b/3)。

ヤコビ行列：f=3-(b+1)x+x^2y, g=bx-x^2y。
f_x=-(b+1)+2xy, f_y=x^2, g_x=b-2xy, g_y=-x^2。
平衡点 (3, b/3) では xy=b なので
f_x=-(b+1)+2b=b-1, f_y=9, g_x=b-2b=-b, g_y=-9。
J=[[b-1, 9],[-b, -9]]。

tr J=b-1-9=b-10。det J=(b-1)(-9)-9(-b)=-9b+9+9b=9。

固有値が純虚数 ±iω となる条件は tr=0 かつ det>0。tr=0 より b=10。det=9>0 なので λ^2+9=0、λ=±3i、ω=3。

検算：b=10 のとき J=[[9,9],[-10,-9]]。特性方程式 λ^2-(0)λ+(-81+90)=λ^2+9=0。よって λ=±3i で一致する。

答え：(b, ω)=(10, 3)。