2 変数の平衡点の線形化と安定性

連立の自励系 $x ˙ = f (x, y), y ˙ = g (x, y)$ の平衡点でのヤコビ行列を求め、その固有値（またはトレースと行列式）から安定性を判定し、固有値が純虚数 $\pm iω$ になるパラメータの値と $ω$ を求められる

前提

1 変数の自励系の平衡点と線形安定性（大学数学数理モデル）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）

説明

連立の自励系 $x ˙ = f (x, y), y ˙ = g (x, y)$ には、 $f = g = 0$ となる点があり、これを平衡点といいます。この技能を使うと、平衡点の近くで解が平衡点に近づくか離れるかを判定できます。やることは 2 つです。平衡点で偏導関数を並べた行列（ヤコビ行列）を作り、その固有値の実部の符号を、トレースと行列式を使って調べます。さらにパラメータを動かして固有値が純虚数 $\pm iω$ になる値を求めると、安定と不安定が入れ替わる境目と、そのときの振動の角振動数 $ω$ がわかります。化学反応・生態系・電気回路などのモデルで、振動が生まれる条件を調べるときに使います。

なぜそうしてよいのか

平衡点を $(x^{*}, y^{*})$ とし、そこからのずれを $u = x - x^{*}, v = y - y^{*}$ とおきます。 $f (x^{*}, y^{*}) = 0$ なので、全微分の考え方から $f (x, y) \approx f_{x} (x^{*}, y^{*}) u + f_{y} (x^{*}, y^{*}) v$ となります。 $g$ についても同じです。ずれが小さいうちは、系は次の線形の系で近似できます。 $(u ˙ v ˙) = J (u v), J = (f_{x} g_{x} f_{y} g_{y})_{(x^{*}, y^{*})}$ これは、1 変数のときに $f^{'} (x^{*})$ の符号を見たことの 2 変数版です。

$J p = λ p$ （ $p \neq = 0$ ）とすると、 $u (t) = e^{λ t} p$ は $u ˙ = λ e^{λ t} p = J u$ を満たすので、線形の系の解になります。固有値が複素数 $λ = α \pm iω$ のときは、 $e^{(α + iω) t} = e^{α t} (cos ω t + i sin ω t)$ と定めます。こう定めると、実数のときと同じ微分の規則が成り立ちます。このとき解は、大きさが $e^{α t}$ 倍になりながら角振動数 $ω$ で回ります。固有値が重解で固有ベクトルが 1 方向しかないときも、解は $e^{λ t}$ と $t e^{λ t}$ の組合せになります。どの場合でも、解が 0 に縮むか膨らむかは固有値の実部の符号で決まります。
・すべての固有値の実部が負なら、平衡点は漸近安定です。
・実部が正の固有値が 1 つでもあれば、不安定です。
この 2 つの結論は、もとの非線形の系でも平衡点の近くで成り立ちます。一方、実部が正の固有値がなく、実部が 0 の固有値があるときは、無視した 2 次以上の項が効いてくるので、線形化だけでは判定できません。

特性多項式は $det (J - λ E) = λ^{2} - τ λ + Δ$ です。ここで $τ = f_{x} + g_{y}$ （トレース）、 $Δ = det J$ です。2 つの固有値を $λ_{1}, λ_{2}$ とすると、 $λ_{1} + λ_{2} = τ, λ_{1} λ_{2} = Δ$ が成り立ちます。これを使うと、次のように漏れなく場合分けできます。
・ $Δ < 0$ ：固有値は正と負の実数です（積が負の実数なので、虚数にはなりません）。鞍点で、 $τ$ によらず不安定です。
・ $Δ > 0$ 、 $τ < 0$ ：実数なら同符号で和が負なので両方とも負です。複素数 $α \pm iω$ なら $τ = 2 α < 0$ です。どちらでも漸近安定です。
・ $Δ > 0$ 、 $τ > 0$ ：同じ理由で実部はすべて正となり、不安定です。
・ $Δ > 0$ 、 $τ = 0$ ： $λ^{2} + Δ = 0$ より $λ = \pm i Δ$ の純虚数です。線形化では判定できません。
・ $Δ = 0$ ：固有値は $0$ と $τ$ です。 $τ > 0$ なら正の固有値があるので不安定です。 $τ \leq 0$ なら判定できません。
特に、固有値が純虚数 $\pm iω$ （ $ω > 0$ ）になるのは $τ = 0$ かつ $Δ > 0$ のときだけで、そのとき $ω = Δ$ です。

手順

平衡点を求める：連立方程式 $f (x, y) = 0, g (x, y) = 0$ を解いて $(x^{*}, y^{*})$ を出す。
偏導関数 $f_{x}, f_{y}, g_{x}, g_{y}$ を一般の $(x, y)$ で計算する。そのあとで平衡点を代入し、ヤコビ行列 $J = (f_{x} g_{x} f_{y} g_{y})$ を作る。
トレース $τ = f_{x} + g_{y}$ と行列式 $Δ = f_{x} g_{y} - f_{y} g_{x}$ を計算する。特性方程式は $λ^{2} - τ λ + Δ = 0$ となる。
安定性を判定する： $Δ < 0$ なら鞍点で不安定（ $τ = 0$ でも不安定）。 $Δ > 0$ かつ $τ < 0$ なら漸近安定。 $Δ > 0$ かつ $τ > 0$ なら不安定。 $Δ > 0$ かつ $τ = 0$ なら固有値は純虚数で判定できない。 $Δ = 0$ のとき、 $τ > 0$ なら不安定、 $τ \leq 0$ なら判定できない。
純虚数の固有値を求めるときは、 $τ = 0$ かつ $Δ > 0$ を満たすパラメータを求める。固有値は $λ = \pm i Δ$ なので、 $ω = Δ$ とする。

例題

$b > 0$ を定数とする自励系 $x ˙ = 2 - (b + 1) x + x^{2} y, y ˙ = b x - x^{2} y$ は、ただ 1 つの平衡点をもつ。その平衡点でのヤコビ行列の固有値が純虚数 $\pm iω$ （ $ω > 0$ ）となるような $b$ の値と $ω$ を、順に組 $(b, ω)$ として求めよ。

例題の解答

手順 1（平衡点）： $y ˙ = 0$ より $x (b - x y) = 0$ である。 $x = 0$ とすると $x ˙ = 2 \neq = 0$ となるので不適である。よって $x y = b$ である。これを $x ˙ = 0$ に代入すると $2 - (b + 1) x + b x = 2 - x = 0$ となり、 $x = 2$ 、 $y = \frac{b}{2}$ を得る。平衡点は $(2, \frac{b}{2})$ である。

手順 2（ヤコビ行列）： $f = 2 - (b + 1) x + x^{2} y$ 、 $g = b x - x^{2} y$ を一般の $(x, y)$ で偏微分すると、次のようになる。 $f_{x} = - (b + 1) + 2 x y$ 、 $f_{y} = x^{2}$ 、 $g_{x} = b - 2 x y$ 、 $g_{y} = - x^{2}$ 。平衡点では $x y = b$ 、 $x^{2} = 4$ なので、 $J = (b - 1 - b 4 - 4)$ となる。

手順 3（トレースと行列式）： $τ = (b - 1) + (- 4) = b - 5$ 、 $Δ = (b - 1) (- 4) - 4 \cdot (- b) = 4$ である。特性方程式は $λ^{2} - (b - 5) λ + 4 = 0$ となる。

手順 4（参考：安定性）： $Δ = 4 > 0$ はつねに成り立つ。よって $0 < b < 5$ なら $τ < 0$ で漸近安定、 $b > 5$ なら $τ > 0$ で不安定である。 $b = 5$ は $Δ > 0$ かつ $τ = 0$ の場合にあたり、線形化では判定できない境目である。

手順 5（純虚数）： $τ = 0$ より $b = 5$ である。このとき $Δ = 4 > 0$ も満たしているので、特性方程式は $λ^{2} + 4 = 0$ となり、 $λ = \pm 2 i$ を得る。よって $ω = 4 = 2$ である。

答えは $(b, ω) = (5, 2)$ 。

答え: $(5, 2)$

よくある誤り

平衡点を代入する前の、 $(x, y)$ を含んだままのヤコビ行列で固有値を調べてしまう誤り。また、先に平衡点の値を $f$ に代入してから微分し、偏導関数を 0 にしてしまう誤りもある。正しくは、まず一般の $(x, y)$ で偏微分し、そのあとで平衡点を代入する。例題なら $f_{x} = - (b + 1) + 2 x y$ に $x y = b$ を入れて $b - 1$ とする。
$τ = 0$ だけで「純虚数だから判定できない」と判断してしまう誤り。正しくは、純虚数になるには $Δ > 0$ も必要である。たとえば $τ = 0, Δ = - 4$ なら $λ^{2} - 4 = 0$ より $λ = \pm 2$ となる。これは $Δ < 0$ の場合にあたり、正の固有値 $2$ をもつ鞍点なので、線形化で不安定と判定できる。
$τ < 0$ だけで漸近安定と判断してしまう誤り。正しくは $τ < 0$ かつ $Δ > 0$ が必要である。たとえば $τ = - 1, Δ = - 2$ なら $λ^{2} + λ - 2 = 0$ より $λ = 1, - 2$ となり、鞍点で不安定である。また $Δ = 0$ を一律に「判定できない」とするのも誤りである。 $Δ = 0, τ = 3$ なら固有値は $0, 3$ で、正の固有値があるので不安定と判定できる。
固有値が $\pm iω$ のとき、もとの非線形の系の平衡点を「安定」や「周期解の中心」と断定してしまう誤り。正しくは、線形化では判定できない。たとえば $x ˙ = - y + x (x^{2} + y^{2}), y ˙ = x + y (x^{2} + y^{2})$ の原点でのヤコビ行列の固有値は $\pm i$ である。しかし $r = x^{2} + y^{2}$ とおくと $r ˙ = r^{3}$ となり、 $r > 0$ では $r$ が増えるので原点は不安定である。あわせて、 $ω$ を $Δ$ そのものにしてしまう誤りにも注意する。正しくは $ω = Δ$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

平面写像の不動点の安定性（大学院数学力学系・エルゴード理論）