力学系・エルゴード理論の問題

$d$ を正の整数とし、$X=[0,1{]}^d$ に最大値ノルム $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\max }_{1\le i\le d}|x_i|$ から定まる距離を入れる。$L\ge 1$ を実数とし、写像 $f:X\to X$ はすべての $x,y\in X$ に対して
$$\Vert f(x)-f(y){\Vert }_{\infty }\le L\Vert x-y{\Vert }_{\infty }$$
を満たすとする。正の整数 $n$ に対して
$$d_n(x,y)=\underset{0\le k\le n-1}{\max }\Vert f^k(x)-f^k(y){\Vert }_{\infty }$$
とおき（$f^0$ は恒等写像）、$\epsilon >0$ に対し、相異なる任意の 2 点 $x,y\in E$ が $d_n(x,y)>\epsilon$ を満たす有限集合 $E\subset X$ を $(n,\epsilon )$-分離集合という。$(n,\epsilon )$-分離集合の元の個数の最大値を $s(n,\epsilon )$ とし、$f$ の位相エントロピーを
$$h_{\mathrm{top}}(f)=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{n}\log s(n,\epsilon )$$
で定める（$s(n,\epsilon )$ が有限であることと、この極限が $[0,\infty ]$ の中に存在することは、証明の中で確かめること）。

$h_{\mathrm{top}}(f)\le d\log L$ が成り立つことを証明せよ。

正の実数 $\mu$ をパラメータとし、平面 ${\mathbb{R}}^2$ 上の写像 $F_{\mu }:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ を
$$F_{\mu }(x,y)=\left(y,\mu y{e}^{-x}\right)$$
で定め、離散力学系 $(x_{n+1},y_{n+1})=F_{\mu }(x_n,y_n)$ を考える。$\mu \ne 1$ のとき、$F_{\mu }$ は原点 $(0,0)$ のほかにちょうど 1 つの不動点 $p_{\mu }$ をもつ。

$p_{\mu }$ における $F_{\mu }$ のヤコビ行列のすべての固有値の絶対値が $1$ より小さくなる（したがって $p_{\mu }$ が線形化により漸近安定と判定できる）ような $\mu$ の値の範囲を求めよ。ただし $\mu \ne 1$ とする。

${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,\dots \}$ とし、$X=\{0,1,2{\}}^{{\mathbb{N}}_0}$ 上の片側シフト $\sigma :X\to X$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める。$X$ 上に確率ベクトル $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right)$ によるベルヌーイ測度 $\mu$ を考える。すなわち、座標 $x_0,x_1,x_2,\dots$ は互いに独立で、各 $n$ について
$$\mu (x_n=0)=\frac{1}{2},\mu (x_n=1)=\frac{1}{3},\mu (x_n=2)=\frac{1}{6}$$
である。

集合 $A=\{x\in X:x_0=2\}$ を考え、$x\in A$ に対して初回帰還時刻を
$$n_A(x)=\min \{n\ge 1:x_n=2\}$$
で定める（$\mu$ に関してほとんどすべての $x\in A$ で $n_A(x)<\infty$ である）。誘導写像 $T_A:A\to A$ を $T_A(x)={\sigma }^{n_A(x)}(x)$、$A$ 上の確率測度を ${\mu }_A(B)=\frac{\mu (B)}{\mu (A)}$（$B\subset A$ は可測集合）で定めると、${\mu }_A$ は $T_A$ 不変である。

$T_A$ の ${\mu }_A$ に関する測度論的エントロピー $h_{{\mu }_A}(T_A)$ を求めよ。ただし、エントロピーは自然対数を用いて定義する。

$\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ を円周とし、倍写像 $T:\mathbb{T}\to \mathbb{T}$, $T(x)=2x(\mathrm{mod}1)$ を考える（$T$ は連続である）。$\mathbb{T}$ 上のボレル確率測度 $\nu$ が $T$-不変であるとは、すべてのボレル集合 $A\subset \mathbb{T}$ に対して $\nu (T^{-1}(A))=\nu (A)$ が成り立つことをいう。$m$ を $\mathbb{T}$ 上のルベーグ測度（$[0,1)$ と同一視したときのルベーグ測度）とする。整数 $k$ に対し $e_k(x)=e^{2\pi ikx}$ とおき、ボレル確率測度 $\nu$ のフーリエ係数を
$$\hat{\nu }(k)={\int }_{\mathbb{T}}{e}_{k}d\nu (k\in \mathbb{Z})$$
で定める。

次の事実は用いてよい。
- (F1) 三角多項式 ${\sum }_{|k|\le N}{c}_k{e}_k$（$N\ge 0$, $c_k\in \mathbb{C}$）全体は、$\mathbb{T}$ 上の複素数値連続関数全体の中で一様ノルムに関して稠密である。
- (F2) $\mathbb{T}$ 上の 2 つのボレル確率測度 ${\nu }_1,{\nu }_2$ が、すべての実数値連続関数 $f$ について $\int fd{\nu }_1=\int fd{\nu }_2$ を満たすならば ${\nu }_1={\nu }_2$ である。

$\nu$ を $T$-不変なボレル確率測度とし、$\underset{|k|\to \infty }{\lim }\hat{\nu }(k)=0$ が成り立つとする。このとき $\nu =m$ であることを証明せよ。

円周 $S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上の写像 $f:S^1\to S^1$ を、実数 $x$ に対して
$$f(x\mathrm{mod}1)=F(x)\mathrm{mod}1,F(x)=-3x+\frac{1}{4\pi }\sin (2\pi x)$$
で定める（$F(x+1)=F(x)-3$ なので $f$ は well-defined である）。点 $p\in S^1$ が $f$ の最小周期 $n$ の周期点であるとは、$f^n(p)=p$ かつ $1\le k<n$ に対して $f^k(p)\ne p$ が成り立つことをいう。ここで $f^n$ は $f$ の $n$ 回合成である。

$f$ の最小周期 $6$ の周期軌道（最小周期 $6$ の周期点の $f$ による軌道 $\{p,f(p),\dots ,f^5(p)\}$）の個数を求めよ。