力学系・エルゴード理論の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学力学系・エルゴード理論

$N_{0} = {0, 1, 2, \dots}$ とし、 $X = {0, 1, 2}^{N_{0}}$ 上の片側シフト $σ : X \to X$ を $(σ x)_{n} = x_{n + 1}$ で定める。 $X$ 上に確率ベクトル $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6})$ によるベルヌーイ測度 $μ$ を考える。すなわち、座標 $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots$ は互いに独立で、各 $n$ について
$μ (x_{n} = 0) = \frac{1}{2}, μ (x_{n} = 1) = \frac{1}{3}, μ (x_{n} = 2) = \frac{1}{6}$
である。

集合 $A = {x \in X : x_{0} = 2}$ を考え、 $x \in A$ に対して初回帰還時刻を
$n_{A} (x) = min {n \geq 1 : x_{n} = 2}$
で定める（ $μ$ に関してほとんどすべての $x \in A$ で $n_{A} (x) < \infty$ である）。誘導写像 $T_{A} : A \to A$ を $T_{A} (x) = σ^{n_{A} (x)} (x)$ 、 $A$ 上の確率測度を $μ_{A} (B) = \frac{μ ( B )}{μ ( A )}$ （ $B \subset A$ は可測集合）で定めると、 $μ_{A}$ は $T_{A}$ 不変である。

$T_{A}$ の $μ_{A}$ に関する測度論的エントロピー $h_{μ_{A}} (T_{A})$ を求めよ。ただし、エントロピーは自然対数を用いて定義する。

この問題で使うもの

誘導写像とカッツの補題・アブラモフの公式（説明と入口の問題）
ベルヌーイ測度・マルコフ測度のエントロピー（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（69 技能）

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ヒント

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ヒント 1

誘導写像のエントロピーと元の写像のエントロピーを結びつける公式（アブラモフの公式）を思い出そう。

ヒント 2

$h_{μ_{A}} (T_{A}) = h_{μ} (σ) / μ (A)$ であり、ベルヌーイシフトのエントロピーは $- \sum p_{i} lo g p_{i}$ である。

ヒント 3

$h_{μ} (σ) = \frac{2}{3} lo g 2 + \frac{1}{2} lo g 3$ 、 $μ (A) = \frac{1}{6}$ である。

答えと解説

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lo g 432

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解説を読む

方法 1: アブラモフの公式.
$μ$ は $σ$ 不変かつエルゴード的（ベルヌーイ測度は混合的）で、 $μ (A) = \frac{1}{6} > 0$ である。このとき誘導写像のエントロピーについてアブラモフの公式
$h_{μ_{A}} (T_{A}) = \frac{h _{μ} ( σ )}{μ ( A )}$
が成り立つ。ベルヌーイシフトのエントロピーは（生成分割 ${[0], [1], [2]}$ をとって）
$h_{μ} (σ) = - i \sum p_{i} lo g p_{i} = \frac{1}{2} lo g 2 + \frac{1}{3} lo g 3 + \frac{1}{6} lo g 6 = \frac{2}{3} lo g 2 + \frac{1}{2} lo g 3.$
よって
$h_{μ_{A}} (T_{A}) = 6 (\frac{2}{3} lo g 2 + \frac{1}{2} lo g 3) = 4 lo g 2 + 3 lo g 3 = lo g 432.$

方法 2: 直接計算（確認）.
$x \in A$ は $x = 2 w^{(1)} 2 w^{(2)} 2 \dots$ と、記号 $2$ で区切られた ${0, 1}$ 上の有限語 $w^{(j)}$ （空語を含む）の列に一意に分解できる（ほとんどすべての $x$ で）。座標の独立性より、 $μ_{A}$ のもとで語 $w^{(1)}, w^{(2)}, \dots$ は独立同分布で、 $T_{A}$ はこの語の列の上のシフトになる。したがって $(A, T_{A}, μ_{A})$ は可算アルファベット ${0, 1}^{*}$ 上のベルヌーイシフトで、語 $w = w_{1} \dots w_{k}$ の確率は
$q (w) = (i = 1 \prod k p_{w_{i}}) \cdot \frac{1}{6} (p_{0} = \frac{1}{2}, p_{1} = \frac{1}{3})$
である。そのエントロピーは $- \sum_{w} q (w) lo g q (w) = E [- lo g q (w)]$ で、
$E [- lo g q (w)] = lo g 6 + E [i = 1 \sum k (- lo g p_{w_{i}})] .$
語の長さ $k$ は $P (k = m) = (\frac{5}{6})^{m} \frac{1}{6}$ の幾何分布なので $E [k] = 5$ 。各文字は（長さを条件として）独立に $0$ が確率 $\frac{1/2}{5/6} = \frac{3}{5}$ 、 $1$ が確率 $\frac{2}{5}$ で現れるので、1 文字あたり $E [- lo g p] = \frac{3}{5} lo g 2 + \frac{2}{5} lo g 3$ 。ワルドの等式より
$E [i = 1 \sum k (- lo g p_{w_{i}})] = 5 (\frac{3}{5} lo g 2 + \frac{2}{5} lo g 3) = 3 lo g 2 + 2 lo g 3.$
よって $h_{μ_{A}} (T_{A}) = lo g 6 + 3 lo g 2 + 2 lo g 3 = 4 lo g 2 + 3 lo g 3 = lo g 432$ となり、方法 1 と一致する。

別解

アブラモフの公式（誘導写像のエントロピー） $h_{μ_{A}} (T_{A}) = \frac{h _{μ} ( σ )}{μ ( A )}$ を用いる。

ベルヌーイシフトのエントロピーは $h_{μ} (σ) = H (p) = - \sum p_{i} lo g p_{i} = \frac{1}{2} lo g 2 + \frac{1}{3} lo g 3 + \frac{1}{6} lo g 6$ 。 $lo g 6 = lo g 2 + lo g 3$ より $H (p) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{6}) lo g 2 + (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) lo g 3 = \frac{2}{3} lo g 2 + \frac{1}{2} lo g 3$ 。

$μ (A) = \frac{1}{6}$ なので $h_{μ_{A}} (T_{A}) = 6 H (p) = 4 lo g 2 + 3 lo g 3 = lo g (2^{4} \cdot 3^{3}) = lo g 432$ 。

別の見方（検算）: $T_{A}$ は、 $2$ の次に現れる「 $2$ 以外の列 + $2$ 」の語を単位とするベルヌーイ系で、語 $w = a_{1} \dots a_{k - 1} 2$ （ $a_{i} \in {0, 1}$ ）が確率 $\prod P (a_{i}) \cdot \frac{1}{6}$ で独立に現れる。 $T_{A}$ のエントロピーはこの語分布のシャノンエントロピー。 $k - 1 = m$ 個の ${0, 1}$ が出る確率は $(5/6)^{m} \cdot \frac{1}{6}$ （各 $a_{i}$ は条件付き確率 $\frac{3}{5}, \frac{2}{5}$ ）で、 $H = H_{幾何} + E [m] H (\frac{3}{5}, \frac{2}{5})$ 。 $E [m] = 5$ 、 $H_{幾何} = 6 (- \frac{5}{6} lo g \frac{5}{6} - \frac{1}{6} lo g \frac{1}{6}) \cdot \frac{1}{1}$ を整理すると $6 lo g 6 - 5 lo g 5$ 、 $5 H (\frac{3}{5}, \frac{2}{5}) = 5 lo g 5 - 3 lo g 3 - 2 lo g 2$ 。和は $6 lo g 6 - 3 lo g 3 - 2 lo g 2 = 4 lo g 2 + 3 lo g 3$ となり一致。

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