力学系・エルゴード理論の問題

${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,\dots \}$ とし、$X=\{0,1,2{\}}^{{\mathbb{N}}_0}$ 上の片側シフト $\sigma :X\to X$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める。$X$ 上に確率ベクトル $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right)$ によるベルヌーイ測度 $\mu$ を考える。すなわち、座標 $x_0,x_1,x_2,\dots$ は互いに独立で、各 $n$ について
$$\mu (x_n=0)=\frac{1}{2},\mu (x_n=1)=\frac{1}{3},\mu (x_n=2)=\frac{1}{6}$$
である。

集合 $A=\{x\in X:x_0=2\}$ を考え、$x\in A$ に対して初回帰還時刻を
$$n_A(x)=\min \{n\ge 1:x_n=2\}$$
で定める（$\mu$ に関してほとんどすべての $x\in A$ で $n_A(x)<\infty$ である）。誘導写像 $T_A:A\to A$ を $T_A(x)={\sigma }^{n_A(x)}(x)$、$A$ 上の確率測度を ${\mu }_A(B)=\frac{\mu (B)}{\mu (A)}$（$B\subset A$ は可測集合）で定めると、${\mu }_A$ は $T_A$ 不変である。

$T_A$ の ${\mu }_A$ に関する測度論的エントロピー $h_{{\mu }_A}(T_A)$ を求めよ。ただし、エントロピーは自然対数を用いて定義する。

記号の集合 $\{1,2,3\}$ と行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
に対し、
$$X_A=\left\{x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}\in \{1,2,3{\}}^{\mathbb{Z}}|\text{すべての }n\in \mathbb{Z}\text{ について }{A}_{x_n{x}_{n+1}}=1\right\}$$
とし、積位相の誘導位相を入れる。$\sigma :X_A\to X_A$ を左シフト $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ とする。

さらに、確率ベクトル $\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ と確率行列
$$P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
で $\pi P=\pi$ を満たすものをとり、$X_A$ 上のマルコフ測度 $\mu$ を、任意の整数 $m$、0 以上の整数 $k$ と記号 $a_0,\dots ,a_k$ に対して
$$\mu \left(\{x\in X_A\mid x_m=a_0,x_{m+1}=a_1,\dots ,x_{m+k}=a_k\}\right)={\pi }_{a_0}{P}_{a_0{a}_1}{P}_{a_1{a}_2}\cdots P_{a_{k-1}{a}_k}$$
で定める（$\mu$ は $\sigma$ 不変な確率測度である）。

$\sigma$ の位相エントロピー $h_{\mathrm{top}}(\sigma )$ と、$\mu$ に関する測度論的エントロピー（コルモゴロフ・シナイエントロピー）$h_{\mu }(\sigma )$ を、この順に組 $\left(h_{\mathrm{top}}(\sigma ),h_{\mu }(\sigma )\right)$ で求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,\dots \}$ とし、$X=\{0,1{\}}^{{\mathbb{N}}_0}$ 上の片側シフト $\sigma :X\to X$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める。$X$ には積位相とボレル集合族を入れる。シリンダー集合を
$$[11]=\{x\in X:x_0=1,x_1=1\}$$
とする。$\sigma$ 不変なボレル確率測度 $\mu$ のうち $\mu ([11])=\frac{2}{3}$ を満たすもの全体を $\mathcal{M}$ とするとき、
$$\underset{\mu \in \mathcal{M}}{\sup }{h}_{\mu }(\sigma )$$
の値を求めよ。ただし $h_{\mu }(\sigma )$ は $\mu$ に関する $\sigma$ の測度論的エントロピー（コルモゴロフ–シナイのエントロピー）であり、対数は自然対数とする。

$d$ を正の整数とし、$X=[0,1{]}^d$ に最大値ノルム $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\max }_{1\le i\le d}|x_i|$ から定まる距離を入れる。$L\ge 1$ を実数とし、写像 $f:X\to X$ はすべての $x,y\in X$ に対して
$$\Vert f(x)-f(y){\Vert }_{\infty }\le L\Vert x-y{\Vert }_{\infty }$$
を満たすとする。正の整数 $n$ に対して
$$d_n(x,y)=\underset{0\le k\le n-1}{\max }\Vert f^k(x)-f^k(y){\Vert }_{\infty }$$
とおき（$f^0$ は恒等写像）、$\epsilon >0$ に対し、相異なる任意の 2 点 $x,y\in E$ が $d_n(x,y)>\epsilon$ を満たす有限集合 $E\subset X$ を $(n,\epsilon )$-分離集合という。$(n,\epsilon )$-分離集合の元の個数の最大値を $s(n,\epsilon )$ とし、$f$ の位相エントロピーを
$$h_{\mathrm{top}}(f)=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{n}\log s(n,\epsilon )$$
で定める（$s(n,\epsilon )$ が有限であることと、この極限が $[0,\infty ]$ の中に存在することは、証明の中で確かめること）。

$h_{\mathrm{top}}(f)\le d\log L$ が成り立つことを証明せよ。

区間 $X=[0,1)$ 上の写像 $f:X\to X$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+\frac{1}{3}& \left(0\le x<\frac{1}{3}\right)\\ \frac{3x-1}{2}& \left(\frac{1}{3}\le x<1\right)\end{array}$$
で定める。$X$ のルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in X$ に対して、リャプノフ指数
$$\lambda (x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x)\right|$$
が存在して $x$ によらない一定の値 $\lambda$ をとることが知られている。この値 $\lambda$ を求めよ。ただし $f^n$ は $f$ の $n$ 回合成であり、$(f^n{)}^{\prime }(x)$ は軌道 $x,f(x),\dots ,f^{n-1}(x)$ がすべて $x=\frac{1}{3}$ と異なるときに定義される（そうでない $x$ は可算個で、測度 $0$ である）。