メビウス関数と反転公式

正の整数を定義域とする関数 $f$ が、すべての正の整数 $n$ に対して
$$\sum _{d\mid n}f(d)=n^2$$
を満たしている（和は $n$ の正の約数 $d$ すべてにわたる）。$\mu$ をメビウス関数とするとき、$f(12)$ の値を求めよ。

正の整数全体で定義された関数 $f$ が、すべての正の整数 $n$ に対して
$$\sum _{d\mid n}f(d)=n^2$$
を満たしている。ただし、和は $n$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。このとき $f(60)$ の値を求めよ。

正の整数全体で定義された関数 $f$ が、すべての正の整数 $n$ について
$$\sum _{d\mid n}f(d)=n^2$$
を満たすとする。ただし和は $n$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。このとき $f(18)$ の値を求めよ。

正の整数 $d$ に対し、$\mu (d)$ をメビウス関数、$\sigma (d)$ を $d$ の正の約数すべての和とする。
$$S=\sum _{d\mid 1260}\mu (d)\sigma (d)$$
の値を求めよ。ただし和は $1260$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。

正の実数 $x$ に対して、$x$ 以下の正の奇数で、$1$ より大きい平方数で割り切れないもの（すなわち奇数の平方因子をもたない数）の個数を $Q(x)$ とする。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{Q(x)}{x}$$
の値を求めよ。ただし $\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ は用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、デデキントのプサイ関数を
$$\psi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1+\frac{1}{p}\right)$$
で定める（積は $n$ を割り切る素数 $p$ 全体にわたり、$\psi (1)=1$ とする）。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x^2}\sum _{n\le x}\psi (n)$$
の値を求めよ。ただし $x$ は正の実数で、和は $x$ 以下の正の整数 $n$ 全体にわたる。

区間 $[0,1]$ 上のテント写像 $T:[0,1]\to [0,1]$ を
$$T(x)=\{\begin{array}{ll}2x& \left(0\le x\le \frac{1}{2}\right)\\ 2-2x& \left(\frac{1}{2}<x\le 1\right)\end{array}$$
で定める。点 $x\in [0,1]$ が $T^6(x)=x$ を満たし、かつ $1\le k\le 5$ のどの整数 $k$ についても $T^k(x)\ne x$ であるとき、$x$ を $T$ の最小周期 $6$ の周期点という。ここで $T^k$ は $T$ の $k$ 回合成である。

$T$ の最小周期 $6$ の周期点の個数を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\mu (n)$ をメビウス関数とする。
$$S=\sum _{n=1}^{300}\mu (n{)}^2$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。実数 $x\ge 2$ に対して
$$T(x)=\sum _{1\le n\le x}\frac{d(n{)}^2}{n}$$
とおく。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{T(x)}{(\log x{)}^4}$$
は存在する。その値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とし、$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$ を用いてよい。

正の整数 $n$ に対して、$\mu (n)$ をメビウス関数、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和、$\phi (n)$ をオイラー関数とする。正の実数 $x$ に対して
$$S(x)=\sum _{1\le n\le x}\mu (n{)}^2\frac{\sigma (n)}{\phi (n)}$$
と定める（和は $x$ 以下の正の整数 $n$ 全体にわたる）。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}$$
は存在する。その値を求めよ。必要ならば $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

正の整数 $n$ に対して、$\omega (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数とする（$\omega (1)=0$）。実数 $x\ge 2$ に対して
$$A(x)=\sum _{1\le n\le x}\frac{2^{\omega (n)}}{n}$$
とおく。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{A(x)}{(\log x{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$、および $x$ 以下の正の整数のうち平方因子をもたないもの（$1$ を含む）の個数 $Q(x)$ が $Q(x)=\frac{6}{{\pi }^2}x+O(\sqrt{x})$ を満たすことは用いてよい。

$\mu$ をメビウス関数（$\mu (1)=1$、$n$ が相異なる $r$ 個の素数の積なら $\mu (n)=(-1{)}^r$、$n$ がある素数の 2 乗で割り切れるなら $\mu (n)=0$）、$\phi$ をオイラー関数（$1\le m\le n$ かつ $\gcd (m,n)=1$ を満たす整数 $m$ の個数）とする。$\log$ は自然対数とする。

任意の実数 $x\ge 2$ に対して
$$\left|\sum _{1\le n\le x}\frac{\phi (n)}{n}-\frac{6}{{\pi }^2}x\right|\le 6\log x$$
が成り立つことを証明せよ。ただし ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ と、絶対収束する級数の積の展開・並べ替えは用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$\mu (n)$ をメビウス関数、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和、$\phi (n)$ をオイラーの関数とする。実数 $x\ge 1$ に対して
$$S(x)=\sum _{1\le n\le x}\mu (n{)}^2\frac{\sigma (n)}{\phi (n)}$$
と定める。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}$$
は存在する。その値を求めよ。ただし $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ は用いてよい。