整数論の問題

$g(n)=n^2$ とおくと、条件は $g(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)$ である。メビウスの反転公式より
$$f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)g\left(\frac{n}{d}\right)=\sum _{d\mid n}\mu (d){\left(\frac{n}{d}\right)}^2$$
が成り立つ。

$n=18=2\cdot 3^2$ の正の約数は $1,2,3,6,9,18$ である。メビウス関数の値は、平方因子をもたない数では素因数の個数を $k$ として $(-1{)}^k$、平方因子をもつ数では $0$ なので
$$\mu (1)=1,\mu (2)=-1,\mu (3)=-1,\mu (6)=1,\mu (9)=0,\mu (18)=0$$
である（$9=3^2$、$18=2\cdot 3^2$ は平方因子 $3^2$ をもつ）。

よって $\mu (d)\ne 0$ となる $d=1,2,3,6$ だけを考えればよく、
$$f(18)=1\cdot 18^2+(-1)\cdot 9^2+(-1)\cdot 6^2+1\cdot 3^2=324-81-36+9=216.$$

（確認）条件から順に $f(1)=1$、$f(2)=4-1=3$、$f(3)=9-1=8$、$f(6)=36-(1+3+8)=24$、$f(9)=81-(1+8)=72$ が得られ、$n=18$ の条件 $1+3+8+24+72+f(18)=324$ から $f(18)=324-108=216$ となり一致する。

答えは $216$ である。

メビウス反転より $f(n)={\sum }_{d\mid n}\mu (n/d)d^2$。$f$ は乗法的で、素数 $p$ について $f(p)=p^2-1$、$f(p^2)=p^4-p^2$。

$18=2\cdot 3^2$ なので
$f(2)=4-1=3$、$f(9)=81-9=72$。
よって $f(18)=f(2)f(9)=3\cdot 72=216$。

検算：約数 1,2,3,6,9,18 について
$f(1)=1$、$f(2)=3$、$f(3)=8$、$f(6)=f(2)f(3)=24$、$f(9)=72$。
${\sum }_{d\mid 18}f(d)=324$ より $f(18)=324-(1+3+8+24+72)=324-108=216$。これは上の結果と一致する。