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整数論の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学整数論

正の整数を定義域とする関数 $f$ が、すべての正の整数 $n$ に対して
$d ∣ n \sum f (d) = n^{2}$
を満たしている（和は $n$ の正の約数 $d$ すべてにわたる）。 $μ$ をメビウス関数とするとき、 $f (12)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

メビウス関数と反転公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（29 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「約数にわたる和が $n^{2}$ 」という形なので、メビウスの反転公式を使って $f$ を $n^{2}$ で表しましょう。

ヒント 2

反転公式より $f (n) = \sum_{d ∣ n} μ (d) (\frac{n}{d})^{2}$ です。 $12$ の約数 $d$ ごとに $μ (d)$ を求めます。

ヒント 3

$μ (1) = 1, μ (2) = - 1, μ (3) = - 1, μ (4) = 0, μ (6) = 1, μ (12) = 0$ なので、 $f (12) = 1 2^{2} - 6^{2} - 4^{2} + 2^{2}$ を計算します。

答えと解説

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96

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解説を読む

$g (n) = n^{2}$ とおくと、条件は $g (n) = \sum_{d ∣ n} f (d)$ である。メビウスの反転公式より
$f (n) = d ∣ n \sum μ (d) g (\frac{n}{d}) = d ∣ n \sum μ (d) (\frac{n}{d})^{2}$
が成り立つ。

$n = 12 = 2^{2} \cdot 3$ の正の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 12$ である。メビウス関数の値は、平方因子をもつ $4, 12$ では $μ (4) = μ (12) = 0$ であり、残りは
$μ (1) = 1, μ (2) = - 1, μ (3) = - 1, μ (6) = (- 1)^{2} = 1$
である。

したがって
$f (12) = μ (1) \cdot 1 2^{2} + μ (2) \cdot 6^{2} + μ (3) \cdot 4^{2} + μ (6) \cdot 2^{2} = 144 - 36 - 16 + 4 = 96.$

（確認） $f$ は乗法的関数どうしのディリクレ積なので乗法的であり、素数べきでは $f (p^{a}) = p^{2 a} - p^{2 a - 2}$ となる。よって $f (12) = f (4) f (3) = (16 - 4) (9 - 1) = 12 \cdot 8 = 96$ となり、上の計算と一致する。

答え: $96$

別解

メビウスの反転公式より $f (n) = \sum_{d ∣ n} μ (n / d) d^{2}$ 。これは $f (n) = n^{2} \prod_{p ∣ n} (1 - p^{- 2})$ と書ける。

$n = 12 = 2^{2} \cdot 3$ なので
$f (12) = 144 \cdot (1 - 1/4) (1 - 1/9) = 144 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = 96$ 。

検算として、約数ごとに計算する。
$f (1) = 1$
$f (2) = 4 - 1 = 3$
$f (3) = 9 - 1 = 8$
$f (4) = 16 - (f (1) + f (2)) = 16 - 4 = 12$
$f (6) = 36 - (f (1) + f (2) + f (3)) = 36 - 12 = 24$
$f (12) = 144 - (f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (6)) = 144 - (1 + 3 + 8 + 12 + 24) = 144 - 48 = 96$ 。

どちらの方法でも 96 となり一致する。

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