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整数論の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学整数論

正の整数 $d$ に対し、 $μ (d)$ をメビウス関数、 $σ (d)$ を $d$ の正の約数すべての和とする。
$S = d ∣ 1260 \sum μ (d) σ (d)$
の値を求めよ。ただし和は $1260$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。

この問題で使うもの

乗法的関数と約数にわたる和（説明と入口の問題）
メビウス関数と反転公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（29 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$μ (d) σ (d)$ が乗法的関数であること、そして乗法的関数の約数和も乗法的であることを使いましょう。

ヒント 2

$1260$ を素因数分解し、素数べき $p^{a}$ について $\sum_{d ∣ p^{a}} μ (d) σ (d)$ を求めます。 $μ (p^{k}) = 0$ （ $k \geq 2$ ）に注意しましょう。

ヒント 3

$\sum_{d ∣ p^{a}} μ (d) σ (d) = 1 - σ (p) = - p$ となります。 $1260 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7$ の各素因数について掛け合わせましょう。

答えと解説

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210

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解説を読む

$f (d) = μ (d) σ (d)$ とおく。 $μ$ と $σ$ はともに乗法的関数なので、その積 $f$ も乗法的である。さらに、乗法的関数 $f$ に対して $F (n) = \sum_{d ∣ n} f (d)$ も乗法的である。

$1260 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7$ と素因数分解できるので
$S = F (2^{2}) F (3^{2}) F (5) F (7) .$

素数 $p$ と正の整数 $a$ について $F (p^{a})$ を計算する。 $p^{a}$ の約数は $1, p, p^{2}, \dots, p^{a}$ で、 $μ (p^{k}) = 0$ （ $k \geq 2$ ）だから、残るのは $d = 1, p$ の項だけである:
$F (p^{a}) = μ (1) σ (1) + μ (p) σ (p) = 1 - (1 + p) = - p .$

よって
$S = (- 2) (- 3) (- 5) (- 7) = 210.$

（検算: $μ (d) \neq = 0$ となるのは $d$ が $2, 3, 5, 7$ のいくつかの積のときで、 $σ$ も乗法的だから $S = \prod_{p \in {2, 3, 5, 7}} (1 - σ (p))$ と直接まとめても同じ値になる。）

別解

$f (d) = μ (d) σ (d)$ は乗法的関数なので、その約数和も乗法的である。 $1260 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7$ 。

素数べき $p^{a}$ ( $a \geq 1$ ) について、 $μ (p^{j})$ は $j \geq 2$ で 0 なので
$j = 0 \sum a μ (p^{j}) σ (p^{j}) = 1 - σ (p) = 1 - (1 + p) = - p .$

よって
$S = (- 2) (- 3) (- 5) (- 7) = 210.$

検算: 平方因子なしの約数 $d$ だけを数える。 ${2, 3, 5, 7}$ の部分集合ごとに $μ (d) σ (d)$ を足すと $\prod_{p} (1 - σ (p)) = (1 - 3) (1 - 4) (1 - 6) (1 - 8) = (- 2) (- 3) (- 5) (- 7) = 210$ で一致する。

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