整数論の問題

方針 $\phi$ と $\sigma$ はどちらも乗法的関数である。乗法的関数 $f,g$ に対して $F(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)g(n/d)$ も乗法的になる。したがって $F(n)={\sum }_{d\mid n}\phi (d)\sigma (n/d)$ とおくと、$200=2^3\cdot 5^2$ で $\gcd (2^3,5^2)=1$ なので
$$S=F(200)=F(2^3)F(5^2)$$
となる。素数べきごとに計算すればよい。

$F(2^3)$ の計算 $2^3$ の約数は $d=1,2,4,8$ である。
- $\phi (1)=1,\sigma (8)=1+2+4+8=15$
- $\phi (2)=1,\sigma (4)=1+2+4=7$
- $\phi (4)=2,\sigma (2)=3$
- $\phi (8)=4,\sigma (1)=1$

よって $F(2^3)=1\cdot 15+1\cdot 7+2\cdot 3+4\cdot 1=15+7+6+4=32$。

$F(5^2)$ の計算 $5^2$ の約数は $d=1,5,25$ である。
- $\phi (1)=1,\sigma (25)=1+5+25=31$
- $\phi (5)=4,\sigma (5)=6$
- $\phi (25)=20,\sigma (1)=1$

よって $F(5^2)=31+24+20=75$。

まとめ
$$S=F(2^3)F(5^2)=32\times 75=2400.$$

（参考：$\sigma (m)={\sum }_{e\mid m}e$ と ${\sum }_{d\mid n}\phi (d)=n$ を使うと、一般に $F(p^a)=(a+1)p^a$、すなわち $F(n)=n\tau (n)$ となる。実際 $200\times 12=2400$ で一致する。）

$200=2^3\cdot 5^2$ である。$\phi \ast \sigma$（ディリクレ畳み込み）は乗法的関数どうしの畳み込みなので乗法的である。よって $2^3$ と $5^2$ の部分に分けて計算し、積をとる。

$p=2$、指数 3 の部分
${\sum }_{k=0}^3\phi (2^k)\sigma (2^{3-k})$ を計算する。
- $\phi (1)=1,\phi (2)=1,\phi (4)=2,\phi (8)=4$
- $\sigma (1)=1,\sigma (2)=3,\sigma (4)=7,\sigma (8)=15$

よって
$1\cdot 15+1\cdot 7+2\cdot 3+4\cdot 1=15+7+6+4=32$。

$p=5$、指数 2 の部分
- $\phi (1)=1,\phi (5)=4,\phi (25)=20$
- $\sigma (1)=1,\sigma (5)=6,\sigma (25)=31$

よって
$1\cdot 31+4\cdot 6+20\cdot 1=31+24+20=75$。

合計
$S=32\cdot 75=2400$。

検算
$\phi \ast \sigma (n)={\sum }_{d\mid n}\phi (d)\sigma (n/d)$ について、$\sigma =1\ast \mathrm{id}$、$\phi \ast 1=\mathrm{id}$ より $\phi \ast \sigma =\phi \ast 1\ast \mathrm{id}=\mathrm{id}\ast \mathrm{id}$ である。すなわち ${\sum }_{d\mid n}d\cdot (n/d)=n\tau (n)$ となる。
$\tau (200)=4\cdot 3=12$ なので $200\cdot 12=2400$ となり、一致する。