整数論の問題

方針　$\phi$ と $\sigma$ はどちらも乗法的関数です。乗法的関数 $f,g$ に対して $F(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)g(n/d)$ も乗法的になります。そこで $F(n)={\sum }_{d\mid n}\phi (d)\sigma (n/d)$ とおくと、$200=2^3\cdot 5^2$ で $2^3$ と $5^2$ は互いに素なので
$$S=F(200)=F(2^3)F(5^2)$$
が成り立ちます。あとは素数べきごとに計算します。

$F(2^3)$ の計算　$2^3$ の約数は $1,2,4,8$ です。
- $d=1$: $\phi (1)\sigma (8)=1\cdot (1+2+4+8)=15$
- $d=2$: $\phi (2)\sigma (4)=1\cdot (1+2+4)=7$
- $d=4$: $\phi (4)\sigma (2)=2\cdot 3=6$
- $d=8$: $\phi (8)\sigma (1)=4\cdot 1=4$

よって $F(2^3)=15+7+6+4=32$。

$F(5^2)$ の計算　$5^2$ の約数は $1,5,25$ です。
- $d=1$: $\phi (1)\sigma (25)=1\cdot (1+5+25)=31$
- $d=5$: $\phi (5)\sigma (5)=4\cdot 6=24$
- $d=25$: $\phi (25)\sigma (1)=20\cdot 1=20$

よって $F(5^2)=31+24+20=75$。

まとめ
$$S=F(2^3)F(5^2)=32\times 75=2400.$$

（確認）$\sigma (m)={\sum }_{e\mid m}e$ と ${\sum }_{d\mid k}\phi (d)=k$ を使うと $F(n)={\sum }_{e\mid n}e{\sum }_{d\mid n/e}\phi (d)={\sum }_{e\mid n}e\cdot \frac{n}{e}=n\tau (n)$ となります（$\tau (n)$ は正の約数の個数）。$200\cdot \tau (200)=200\cdot (3+1)(2+1)=2400$ となり、結果が一致します。

$\phi$ と $\sigma$ は乗法的関数なので、ディリクレ畳み込み $S=(\phi \ast \sigma )(200)$ も乗法的である。$200=2^3\cdot 5^2$ なので、素数冪ごとに計算する。

$2^3$ の場合: ${\sum }_{i=0}^3\phi (2^i)\sigma (2^{3-i})=1\cdot 15+1\cdot 7+2\cdot 3+4\cdot 1=32$。

$5^2$ の場合: ${\sum }_{i=0}^2\phi (5^i)\sigma (5^{2-i})=1\cdot 31+4\cdot 6+20\cdot 1=75$。

よって $S=32\cdot 75=2400$。

検算: $\sigma =\mathrm{id}\ast 1$ であり、$\phi \ast 1=\mathrm{id}$ なので、$\phi \ast \sigma =\mathrm{id}\ast \mathrm{id}$ となる。すなわち $(\phi \ast \sigma )(n)={\sum }_{d\mid n}d\cdot \frac{n}{d}=n\tau (n)$（$\tau$ は約数の個数）である。$\tau (200)=4\cdot 3=12$ より $200\cdot 12=2400$ となり、一致する。