整数論の問題

方針 $\phi$ と $\sigma$ はどちらも乗法的関数である。乗法的な $f,g$ に対して $F(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)g(n/d)$ も乗法的なので、$n$ を素数べきに分けてそれぞれ計算し、最後に掛ければよい。

素因数分解 $200=2^3\cdot 5^2$ で、$2^3$ と $5^2$ は互いに素だから
$$S=F(200)=F(2^3)F(5^2).$$

$F(2^3)$ の計算 $2^3$ の約数は $1,2,4,8$ である。
- $\phi (1)=1,\phi (2)=1,\phi (4)=2,\phi (8)=4$
- $\sigma (8)=15,\sigma (4)=7,\sigma (2)=3,\sigma (1)=1$

よって
$$F(2^3)=1\cdot 15+1\cdot 7+2\cdot 3+4\cdot 1=15+7+6+4=32.$$

$F(5^2)$ の計算 $5^2$ の約数は $1,5,25$ である。
- $\phi (1)=1,\phi (5)=4,\phi (25)=20$
- $\sigma (25)=31,\sigma (5)=6,\sigma (1)=1$

よって
$$F(5^2)=1\cdot 31+4\cdot 6+20\cdot 1=31+24+20=75.$$

まとめ
$$S=32\times 75=2400.$$

検算 $\sigma (m)={\sum }_{e\mid m}e$ を代入して和の順序を入れかえ、${\sum }_{d\mid k}\phi (d)=k$ を使う。
$$S=\sum _{e\mid 200}e\sum _{d\mid 200/e}\phi (d)=\sum _{e\mid 200}e\cdot \frac{200}{e}=200\tau (200).$$
ここで $\tau (200)=(3+1)(2+1)=12$ だから $S=200\times 12=2400$ となり、上の結果と一致する。

関数 $\phi$ と $\sigma$ は乗法的なので、ディリクレ畳み込み $\phi \ast \sigma$ も乗法的である。$200=2^3\cdot 5^2$ なので、素数べきごとに計算する。

$p=2,k=3$ のとき、$\phi (1),\phi (2),\phi (4),\phi (8)=1,1,2,4$ であり、$\sigma (8),\sigma (4),\sigma (2),\sigma (1)=15,7,3,1$ である。したがって和は $1\cdot 15+1\cdot 7+2\cdot 3+4\cdot 1=32$。

$p=5,k=2$ のとき、$\phi (1),\phi (5),\phi (25)=1,4,20$ であり、$\sigma (25),\sigma (5),\sigma (1)=31,6,1$ である。したがって和は $31+24+20=75$。

よって $S=32\cdot 75=2400$。

検算：$\sigma =\mathrm{id}\ast 1$ であり、$\phi \ast 1=\mathrm{id}$ なので、$\phi \ast \sigma =\phi \ast 1\ast \mathrm{id}=\mathrm{id}\ast \mathrm{id}$ となる。これは $n\tau (n)$ に等しい（$\tau (n)$ は約数の個数）。$200$ の約数の個数は $4\cdot 3=12$ なので、$200\cdot 12=2400$ となり、上の結果と一致する。