乗法的関数と約数にわたる和

正の整数 $m$ に対し、$\phi (m)$ をオイラー関数、$\sigma (m)$ を $m$ の正の約数すべての和とする。
$$S=\sum _{d\mid 200}\phi (d)\sigma \left(\frac{200}{d}\right)$$
の値を求めよ。ただし和は $200$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。

正の整数 $m$ に対し、$\phi (m)$ をオイラー関数、$\sigma (m)$ を $m$ の正の約数すべての和とする。
$$S=\sum _{d\mid 200}\phi (d)\sigma \left(\frac{200}{d}\right)$$
の値を求めよ。ただし和は $200$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。

正の整数 $m$ に対し、$\phi (m)$ をオイラー関数、$\sigma (m)$ を $m$ の正の約数すべての和とする。$$S=\sum _{d\mid 200}\phi (d)\sigma \left(\frac{200}{d}\right)$$ の値を求めよ。ただし和は $200$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。

正の整数 $d$ に対し、$\mu (d)$ をメビウス関数、$\sigma (d)$ を $d$ の正の約数すべての和とする。
$$S=\sum _{d\mid 1260}\mu (d)\sigma (d)$$
の値を求めよ。ただし和は $1260$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。

トーラス $T^2=S^1\times S^1$ の連結な $4$ 重被覆空間 $p:Y\to T^2$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $4$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to T^2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to T^2$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるという。連結な $4$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。

トーラス $T^2=S^1\times S^1$ の連結な $12$ 重被覆空間 $p:Y\to T^2$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $12$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to T^2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to T^2$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在することとする。

連結な $12$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\phi (n)$ をオイラー関数、$\tau (n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。
$$S=\sum _{d\mid 360}\phi (d)\tau \left(\frac{360}{d}\right)$$
の値を求めよ。ただし和は $360$ の正の約数 $d$ すべてにわたる。

正の整数 $m$ に対し、$\tau (m)$ を $m$ の正の約数の個数とする。
$$T=\sum _{d\mid 720}\tau (d)$$
の値を求めよ。ただし和は $720$ の正の約数 $d$ すべてにわたってとる。

正の整数 $n$ に対し、デデキントのプサイ関数を
$$\psi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1+\frac{1}{p}\right)$$
で定める（積は $n$ を割り切る素数 $p$ 全体にわたり、$\psi (1)=1$ とする）。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x^2}\sum _{n\le x}\psi (n)$$
の値を求めよ。ただし $x$ は正の実数で、和は $x$ 以下の正の整数 $n$ 全体にわたる。

正の整数 $n$ を素因数分解して $n={\prod }_p{p}^{k_p}$ と書いたとき、$\Omega (n)={\sum }_p{k}_p$（重複を込めた素因数の個数。$\Omega (1)=0$）とし、リウヴィル関数を $\lambda (n)=(-1{)}^{\Omega (n)}$ で定める。実数 $t$ に対し $\lfloor t\rfloor$ は $t$ 以下の最大の整数を表す。

$N\ge 2$ を満たす任意の整数 $N$ に対して
$$\left|\sum _{n=1}^N\frac{\lambda (n)}{n}-\frac{\lfloor \sqrt{N}\rfloor }{N}\right|\le 1-\frac{2}{N}$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、素因数分解の一意性は用いてよい。

正の整数 $n$ に対して、$\mu (n)$ をメビウス関数、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和、$\phi (n)$ をオイラー関数とする。正の実数 $x$ に対して
$$S(x)=\sum _{1\le n\le x}\mu (n{)}^2\frac{\sigma (n)}{\phi (n)}$$
と定める（和は $x$ 以下の正の整数 $n$ 全体にわたる）。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}$$
は存在する。その値を求めよ。必要ならば $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

正の整数 $m$ に対して、$d(m)$ を $m$ の正の約数の個数とする。無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{d(n^2)}{n^2}$$
は収束する。その値を求めよ。ただし $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{-s}$ について $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$, $\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ は用いてよい。

$S^3=\{(z,w)\in {\mathbb{C}}^2:|z{|}^2+|w{|}^2=1\}$ とし、$\zeta =e^{2\pi i/6}$ とする。巡回群 $\mathbb{Z}/6$ の生成元を $(z,w)\mapsto (\zeta z,\zeta w)$ として $S^3$ に作用させ、その商空間をレンズ空間 $L=S^3/(\mathbb{Z}/6)$ とする。さらに $X=S^1\times L$ とおく。

正の整数 $n$ に対し、$X$ の連結な $n$ 重被覆空間（全空間が連結で、各点の逆像がちょうど $n$ 点である被覆写像 $p:Y\to X$）の、被覆空間としての同型類の個数を $c_n$ とする。ここで $2$ つの被覆 $p:Y\to X$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to X$ が同型であるとは、同相写像 $\varphi :Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ \varphi =p$ を満たすものが存在することとする（基点は考えない）。

$$\sum _{n=1}^{12}{c}_n$$
を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\mu (n)$ をメビウス関数、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和、$\phi (n)$ をオイラーの関数とする。実数 $x\ge 1$ に対して
$$S(x)=\sum _{1\le n\le x}\mu (n{)}^2\frac{\sigma (n)}{\phi (n)}$$
と定める。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}$$
は存在する。その値を求めよ。ただし $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ は用いてよい。

$n=360$ とする。
$$S=\sum _{\begin{array}{c}1\leqq k\leqq n\\ \gcd (k,n)=1\end{array}}\gcd (k-1,n)$$
の値を求めよ。ただし和は $1\leqq k\leqq 360$ かつ $360$ と互いに素な整数 $k$ すべてにわたってとり、$\gcd (0,n)=n$ とする。

正の整数 $n$ に対して
$$f(n)=\#\{(a,b)\in {\mathbb{Z}}_{>0}^2:\mathrm{lcm}(a,b)=n\}$$
とおく（$\mathrm{lcm}(a,b)$ は $a,b$ の最小公倍数）。また、複素数 $s$ に対して $\sigma =\mathrm{Re}s$ と書き、$\sigma >1$ のとき $\zeta (s)={\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-s}$ とする。

$\mathrm{Re}s>1$ を満たす任意の複素数 $s$ に対して、ディリクレ級数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}$ は絶対収束し、$\zeta (2s)\ne 0$ であって
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{f(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s{)}^3}{\zeta (2s)}$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、素因数分解の一意性、$\sigma >1$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-\sigma }$ が収束すること、絶対収束する級数の項の並べ替えと、絶対収束する有限個の級数の積の展開（コーシー積）は用いてよい。$\zeta$ のオイラー積表示は用いる場合には証明すること。